Exercício 1.17 Seja
uma v.a. com função densidade de probabilidade dada por
- Prove que
f é de facto uma função densidade de probabilidade. Sim
- Determine a respectiva função de distribuição.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória contínua
e pede (i) mostrar que isto é de facto uma densidade (isto é, ) e (ii) determinar a função de distribuição cumulativa
Passo 2
Primeiro verificamos
f(x)>=0 em
(3,5) . Note que
O discriminante desta quadrática é
De<a =(-24)^2-4cdot3cdot45=576-540=36 , cujas raízes são
Como o coeficiente de
x^2 em
3x^2-24x+45 é positivo, temos
3x^2-24x+45<=0 exatamente para
3<= x<=5 . Logo
f(x)>=0 em
(3,5) e é zero fora.
Agora verificamos a integral total:
Uma primitiva é
Avaliando de
3 a
5 :
Logo
integral f=1 e
f é de facto uma densidade.
Passo 3
Para
x<=3 temos
F(x)=0 e para
x>=5 temos
F(x)=1 .
Para3<x<5
Para
Usamos a mesma primitiva do Passo
2 e subtraímos o valor em
t=3 :
Convertendo
13,5=tfrac272=tfrac544 , obtemos
Passo 4
Juntando tudo, a função de distribuição é