Exercício 1.17 Seja X uma v.a. com função densidade de probabilidade dada por
f(x)=cl -34 x^2+6 x-454 & , 3<x<5 0 & , caso contrário á
  1. Prove que f é de facto uma função densidade de probabilidade. Sim
  2. Determine a respectiva função de distribuição.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua
e pede (i) mostrar que isto é de facto uma densidade (isto é, ) e (ii) determinar a função de distribuição cumulativa

Passo 2

Primeiro verificamos f(x)>=0 em (3,5). Note que
-tfrac34x^2+6x-tfrac454>=0 ;Long<=ftrightarrow; 3x^2-24x+45<=0
O discriminante desta quadrática é
De<a =(-24)^2-4cdot3cdot45=576-540=36, cujas raízes são
x=24pm66;Longrightarrow;x=3ou x=5
Como o coeficiente de x^2 em 3x^2-24x+45 é positivo, temos 3x^2-24x+45<=0 exatamente para 3<= x<=5. Logo f(x)>=0 em (3,5) e é zero fora.
Agora verificamos a integral total:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral3^5l(-tfrac34x^2+6x-tfrac454r),dx
Uma primitiva é
integrall(-tfrac34x^2+6x-tfrac454r),dx =-tfrac14x^3+3x^2-tfrac454x
Avaliando de 3 a 5:
l[-tfrac14x^3+3x^2-tfrac454xr]3^5 =l(-12,5r)-l(-13,5r)=1
Logo integral f=1 e f é de facto uma densidade.

Passo 3

Para x<=3 temos F(x)=0 e para x>=5 temos F(x)=1.
Para 3<x<5
F(x) =integral-infty^xf(t),dt =integral3^xl(-tfrac34t^2+6t-tfrac454r),dt
Usamos a mesma primitiva do Passo 2 e subtraímos o valor em t=3:
F(x) =l[-tfrac14t^3+3t^2-tfrac454tr]3^x =l(-tfrac14x^3+3x^2-tfrac454xr) -l(-13,5r)
Convertendo 13,5=tfrac272=tfrac544, obtemos
F(x) =-tfrac14x^3+3x^2-tfrac454x+tfrac544 =-x^3+12x^2-45x+544

Passo 4

Juntando tudo, a função de distribuição é
F(x)= 0, & x<= 3,[6pt] -x^3+12x^2-45x+544, & 3 < x < 5,[6pt] 1, & x>= 5 ]

Resposta

F(x)= 0, & x<= 3,[6pt] dfrac-x^3+12x^2-45x+544, & 3 < x < 5,[6pt] 1, & x>= 5 ]

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