Exercício 4.8.15. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear que na base canônica de \mathbb{R}^{3} possui matriz representativa
a) Verificar que F^{2}=\mathbf{0} ( \mathbf{0} indica a aplicação nula).
b) Encontrar uma base para \operatorname{Im} F e uma base para \operatorname{Ker} F, e provar que \operatorname{Im} F \subseteq \operatorname{Ker} F.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Multiplicando linha por coluna,
primeira linha por cada coluna: 2\cdot2 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot2 =4-4=0, e as outras entradas também dão zero por estrutura repetida. Concluímos A^2=0, logo F^2 é a aplicação nula.
Passo 3
Para achar \mathrm{Im}\,F, olhamos o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são