Exercício 4.8.15. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear que na base canônica de \mathbb{R}^{3} possui matriz representativa
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -2 \end{array}\right)
a) Verificar que F^{2}=\mathbf{0} ( \mathbf{0} indica a aplicação nula).
b) Encontrar uma base para \operatorname{Im} F e uma base para \operatorname{Ker} F, e provar que \operatorname{Im} F \subseteq \operatorname{Ker} F.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Precisamos mostrar que F^2 é a aplicação nula, depois encontrar bases de \mathrm{Im}\,F e \ker F e, por fim, provar \mathrm{Im}\,F\subseteq\ker F.

Passo 2

Para verificar que F^2=\mathbf{0}, recordamos que a composição F\circ F corresponde ao produto matricial A^2. Então calculamos
A^2 =\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Multiplicando linha por coluna,
primeira linha por cada coluna: 2\cdot2 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot2 =4-4=0, e as outras entradas também dão zero por estrutura repetida. Concluímos A^2=0, logo F^2 é a aplicação nula.

Passo 3

Para achar \mathrm{Im}\,F, olhamos o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c_1=(2,-1,2),\quad c_2=(0,0,0),\quad c_3=(-2,1,-2)=-1\cdot(2,-1,2).
Logo todas as colunas estão em \mathrm{span}\{(2,-1,2)\} e c_2 é nula. Uma base de \mathrm{Im}\,F é
\{(2,-1,2)\}.

Passo 4

Para \ker F\), resolvemos \(A(x,y,z)^T=0\), ou seja o sistema \[\begin{cases} 2x-2z=0,\\\\ -\,x+z=0,\\\\ 2x-2z=0. \end{cases}
As duas equações independentes dão x=z\], enquanto \(y é livre. Portanto
(x,y,z)=(x,y,x)=x\,(1,0,1)+y\,(0,1,0).
Uma base de \ker F é
\{(1,0,1),\,(0,1,0)\}.

Passo 5

Para provar \mathrm{Im}\,F\subseteq\ker F, basta notar que se v\in\mathrm{Im}\,F então v=F(u) para algum u e
F(v)=F(F(u))=F^2(u)=0,
ou seja v\in\ker F. Em particular, o gerador (2,-1,2) de \mathrm{Im}\,F satisfaz A\,(2,-1,2)^T=0, confirmando a inclusão.

Resposta

a) F^2=\mathbf{0}.
b)
Base de \mathrm{Im}\,F: \{(2,-1,2)\}.
Base de \ker F: \{(1,0,1),(0,1,0)\}.
E de fato \mathrm{Im}\,F\subseteq\ker F.

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