Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
Para todas as matrizes
temos que
.
Para todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede verificar se, para quaisquer matrizes quadradas
, vale a fórmula
Esse resultado faz parte das propriedades fundamentais do determinante em Álgebra Linear.
Passo 2
Lembramos que o determinante é uma forma alternada e multilinear nas linhas (ou colunas) de uma matriz e satisfaz a normalização
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Para matriz fixa
, defina a função
Como produto de matrizes combina linhas de
com linhas de
, segue que
é também alternada e multilinear nas linhas de
. Pela unicidade da forma alternada multilinear em
, existe escalar
tal que
Passo 4
Achar
avaliando em
:
por outro lado
Logo
e, portanto, para todo
Resposta
A sentença é verdadeira: para todas as matrizes
vale