Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos):
Para todas as matrizes A, B in Mn times n temos que det(A cdot B)=(det A) cdot(det B).

Passo 1

O enunciado pede verificar se, para quaisquer matrizes quadradas A,Bin Mntimes n, vale a fórmula
det(A B);=;det(A),det(B)
Esse resultado faz parte das propriedades fundamentais do determinante em Álgebra Linear.

Passo 2

Lembramos que o determinante é uma forma alternada e multilinear nas linhas (ou colunas) de uma matriz e satisfaz a normalização
det(I) = 1,
onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Para matriz fixa B, defina a função
g(A) = det(A,B)
Como produto de matrizes combina linhas de A com linhas de B, segue que g é também alternada e multilinear nas linhas de A. Pela unicidade da forma alternada multilinear em Mntimes n, existe escalar lambda tal que
g(A) = lambda,det(A)

Passo 4

Achar lambda avaliando em A=I:
g(I) = det(I,B) = det(B),
por outro lado
g(I) = lambda,det(I) = lambdacdot1 = lambda
Logo lambda=det(B) e, portanto, para todo A
det(A,B) = g(A) = det(B),det(A) = det(A),det(B)

Resposta

A sentença é verdadeira: para todas as matrizes A,Bin Mntimes n vale
det(A,B) = det(A),det(B)

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