Exercício 17. Sejam
e
funções crescentes em um intervalo
. Mostre que
também é crescente em
. O que se pode dizer sobre
? Dê um contraexemplo no caso do produto.
Passo 1
O enunciado nos dá que
e
são funções crescentes em um intervalo
. As perguntas são:
- Mostrar que
também é crescente em . - O que se pode dizer sobre
? - Dar um contraexemplo para mostrar que a propriedade do produto pode falhar.
Informações importantes dadas:
-
e são crescentes em (interpreto “crescentes” como não decrescentes: para quaisquer com vale e ).
Passo 2
Definição precisa (para garantir que estamos na mesma página):
- Dizemos que uma função
é crescente (não decrescente) em quando, para quaisquer com , temos .
Vou usar essa definição formal ao longo da resolução. É isso que precisaremos para comparar valores em dois pontos quaisquer.
Passo 3
Prova de que
é crescente em
.
Sejam
com
. Como
e
são crescentes, temos
Somando as duas desigualdades termo a termo obtemos
Mas
e
. Portanto
sempre que
. Isso é exatamente a definição de que
é crescente em
.
Comentário didático rápido: somar duas desigualdades válidas ponto a ponto preserva a desigualdade; por isso a soma de duas funções não decrescentes continua não decrescente.
Passo 4
Discussão geral sobre o produto
— tentativa de analisar se a mesma ideia serve.
Se tomarmos
, a diferença entre os valores do produto é
Fazer a fatoração/identidade útil:
Explicando essa identidade: expandindo o lado direito obtém-se
, e os termos intermediários se combinam para dar o lado esquerdo. Essa forma é prática porque separa as diferenças
e
, que sabemos ser
(pelas hipóteses de crescimento).
Passo 5
Interpretação do sinal da expressão do Passo 4.
Cada um dos dois fatores
e
é
(já que
e
são crescentes). Porém, os coeficientes
e
podem ser positivos, nulos ou negativos — isso decide o sinal de cada parcela na soma do Passo 4. Ou seja:
- Se
e então ambas as parcelas são , logo e o produto é não decrescente entre e . - Se os sinais forem mistos ou ambos negativos, as parcelas podem ser negativas e a soma pode ser negativa, zero ou positiva — não há garantia geral.
Conclusão provisória: sem hipóteses adicionais sobre os sinais de
e
, não se pode assegurar que
seja crescente.
Passo 6
Propriedades adicionais úteis (condições suficientes).
- Caso útil e simples: se
e são crescentes e não negativas em (isto é, e para todo ), então é crescente em .
Prova curta: para
temos
e
, e como
e
então, pela identidade do Passo 4,
portanto
.
- Caso simétrico: se
e são crescentes e não positivas em (isto é, e para todo ), então é não crescente (decrescente ou constante) em . Isso vem da mesma identidade: agora e , e as diferenças são , então as duas parcelas são , somando para algo .
Esses pontos mostram que o sinal das funções importa: monotonicidade do produto exige hipóteses extras além de ambas serem crescentes.
Passo 7
Contraexemplo explícito (mostrando que sem hipóteses extras o produto pode falhar).
Escolha
e defina
e
. Ambas são crescentes em
(para
temos
). O produto é
Mas
não é crescente em todo
: por exemplo, tome
e
(note
). Então
e vemos
, ou seja
com
. Assim
não é crescente em
. Isso fornece o contraexemplo pedido.
Observação intuitiva: mesmo que
e
aumentem, se eles mudam de negativo para positivo a interação pode fazer o produto diminuir em alguns trechos (como em
ao passar de negativos maiores em módulo para negativos menores em módulo).
Passo 8
Resumo final (o que fica para a prova):
- A soma de duas funções crescentes é sempre crescente; a prova é direta somando as desigualdades ponto a ponto.
- O produto de duas funções crescentes não é necessariamente crescente: é preciso hipóteses sobre os sinais. Uma condição suficiente é que ambas sejam não negativas em
. Um contraexemplo simples é em , cujo produto não é crescente.