Exercício 17. Sejam f e g funções crescentes em um intervalo I. Mostre que f+g também é crescente em I. O que se pode dizer sobre f \cdot g ? Dê um contraexemplo no caso do produto.

Passo 1

O enunciado nos dá que f e g são funções crescentes em um intervalo I. As perguntas são:
  • Mostrar que f+g também é crescente em I.
  • O que se pode dizer sobre f\cdot g?
  • Dar um contraexemplo para mostrar que a propriedade do produto pode falhar.
Informações importantes dadas:
  • f e g são crescentes em I (interpreto “crescentes” como não decrescentes: para quaisquer x,y\in I com x<y vale f(x)\le f(y) e g(x)\le g(y)).

Passo 2

Definição precisa (para garantir que estamos na mesma página):
  • Dizemos que uma função h é crescente (não decrescente) em I quando, para quaisquer x,y\in I com x<y, temos h(x)\le h(y).
    Vou usar essa definição formal ao longo da resolução. É isso que precisaremos para comparar valores em dois pontos quaisquer x<y.

Passo 3

Prova de que f+g é crescente em I.
Sejam x,y\in I com x<y. Como f e g são crescentes, temos
f(x)\le f(y) \qquad\text{e}\qquad g(x)\le g(y).
Somando as duas desigualdades termo a termo obtemos
f(x)+g(x)\le f(y)+g(y).
Mas f(x)+g(x)=(f+g)(x) e f(y)+g(y)=(f+g)(y). Portanto
(f+g)(x)\le (f+g)(y)
sempre que x<y. Isso é exatamente a definição de que f+g é crescente em I.
Comentário didático rápido: somar duas desigualdades válidas ponto a ponto preserva a desigualdade; por isso a soma de duas funções não decrescentes continua não decrescente.

Passo 4

Discussão geral sobre o produto f\cdot g — tentativa de analisar se a mesma ideia serve.
Se tomarmos x<y, a diferença entre os valores do produto é
f(y)g(y)-f(x)g(x).
Fazer a fatoração/identidade útil:
f(y)g(y)-f(x)g(x)=f(y)\bigl(g(y)-g(x)\bigr)+g(x)\bigl(f(y)-f(x)\bigr).
Explicando essa identidade: expandindo o lado direito obtém-se f(y)g(y)-f(y)g(x)+g(x)f(y)-g(x)f(x), e os termos intermediários se combinam para dar o lado esquerdo. Essa forma é prática porque separa as diferenças g(y)-g(x) e f(y)-f(x), que sabemos ser \ge0 (pelas hipóteses de crescimento).

Passo 5

Interpretação do sinal da expressão do Passo 4.
Cada um dos dois fatores \bigl(g(y)-g(x)\bigr) e \bigl(f(y)-f(x)\bigr) é \ge0 (já que f e g são crescentes). Porém, os coeficientes f(y) e g(x) podem ser positivos, nulos ou negativos — isso decide o sinal de cada parcela na soma do Passo 4. Ou seja:
  • Se f(y)\ge0 e g(x)\ge0 então ambas as parcelas são \ge0, logo f(y)g(y)-f(x)g(x)\ge0 e o produto é não decrescente entre x e y.
  • Se os sinais forem mistos ou ambos negativos, as parcelas podem ser negativas e a soma pode ser negativa, zero ou positiva — não há garantia geral.
Conclusão provisória: sem hipóteses adicionais sobre os sinais de f e g, não se pode assegurar que f\cdot g seja crescente.

Passo 6

Propriedades adicionais úteis (condições suficientes).
  1. Caso útil e simples: se f e g são crescentes e não negativas em I (isto é, f(t)\ge0 e g(t)\ge0 para todo t\in I), então f\cdot g é crescente em I.
Prova curta: para x<y temos g(y)-g(x)\ge0 e f(y)-f(x)\ge0, e como f(y)\ge0 e g(x)\ge0 então, pela identidade do Passo 4,
f(y)g(y)-f(x)g(x)=f(y)\bigl(g(y)-g(x)\bigr)+g(x)\bigl(f(y)-f(x)\bigr)\ge0,
portanto f(x)g(x)\le f(y)g(y).
  1. Caso simétrico: se f e g são crescentes e não positivas em I (isto é, f(t)\le0 e g(t)\le0 para todo t\in I), então f\cdot g é não crescente (decrescente ou constante) em I. Isso vem da mesma identidade: agora f(y)\le0 e g(x)\le0, e as diferenças são \ge0, então as duas parcelas são \le0, somando para algo \le0.
Esses pontos mostram que o sinal das funções importa: monotonicidade do produto exige hipóteses extras além de ambas serem crescentes.

Passo 7

Contraexemplo explícito (mostrando que sem hipóteses extras o produto pode falhar).
Escolha I=(-1,1) e defina f(x)=x e g(x)=x. Ambas são crescentes em I (para x<y temos x\le y). O produto é
(f\cdot g)(x)=x^2.
Mas x^2 não é crescente em todo (-1,1): por exemplo, tome x=-0{,}8 e y=-0{,}2 (note x<y). Então
(f\cdot g)(x)=(-0{,}8)^2=0{,}64 \qquad\text{e}\qquad (f\cdot g)(y)=(-0{,}2)^2=0{,}04,
e vemos 0{,}64>0{,}04, ou seja (f\cdot g)(x)>(f\cdot g)(y) com x<y. Assim f\cdot g não é crescente em I. Isso fornece o contraexemplo pedido.
Observação intuitiva: mesmo que f e g aumentem, se eles mudam de negativo para positivo a interação pode fazer o produto diminuir em alguns trechos (como em x^2 ao passar de negativos maiores em módulo para negativos menores em módulo).

Passo 8

Resumo final (o que fica para a prova):
  • A soma de duas funções crescentes é sempre crescente; a prova é direta somando as desigualdades ponto a ponto.
  • O produto de duas funções crescentes não é necessariamente crescente: é preciso hipóteses sobre os sinais. Uma condição suficiente é que ambas sejam não negativas em I. Um contraexemplo simples é f(x)=g(x)=x em I=(-1,1), cujo produto x^2 não é crescente.

Resposta

f+g é crescente em I.\newline
f\cdot g não é, em geral, crescente; por exemplo, f(x)=g(x)=x em I=(-1,1) f\cdot g(x)=x^2, que não é crescente. (Se f,g\ge0 em I, então f\cdot g é crescente.)

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