Exercício 18. Prove que, se f é crescente e g é decrescente em I, então f-g é crescente em I .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f é crescente em I.
  • g é decrescente em I.
O que se pede:
  • Provar que f-g é crescente em I.

Passo 2

Primeiro vamos recordar com calma o que significam “crescente” e “decrescente” (vou usar a definição em termos de desigualdades, que é a que costuma aparecer em prova).
Definições (não assuma que já sabe isto — é fundamental):
  • Dizemos que uma função h é crescente em I quando, para quaisquer x,y\in I com x<y, vale
h(x)\le h(y).
Isto significa: ao aumentar a entrada, o valor da função não diminui.
  • Dizemos que uma função k é decrescente em I quando, para quaisquer x,y\in I com x<y, vale
k(x)\ge k(y).
Isto significa: ao aumentar a entrada, o valor da função não aumenta.
Observação rápida: se as desigualdades acima forem estritas ( < e >), então chamamos de estritamente crescente/decrescente. Mais adiante comento esse caso.

Passo 3

Vamos montar a prova direta usando essas definições. A ideia é comparar f(x)-g(x) e f(y)-g(y) quando x<y. Para isso precisamos usar as duas propriedades dadas:
  • de f crescente: para x<y temos
f(x)\le f(y);
  • de g decrescente: para x<y temos
g(x)\ge g(y).

Passo 4

A partir de g(x)\ge g(y) podemos multiplicar ambos os lados por -1. Lembre-se: multiplicar por número negativo inverte a desigualdade. Assim obtemos
-\,g(x)\le -\,g(y).
Expliquei por que: se 3\ge1 então -3\le -1; é o mesmo princípio.

Passo 5

Agora somamos as desigualdades obtidas em Passo 3 e Passo 4. Somar desigualdades compatíveis é permitido: se A\le B e C\le D, então A+C\le B+D. Aplicando com A=f(x), B=f(y), C=-g(x), D=-g(y), temos, para x<y,
f(x) + \bigl(-g(x)\bigr) \le f(y) + \bigl(-g(y)\bigr).
Escrevendo de forma mais clara,
f(x)-g(x)\le f(y)-g(y).

Passo 6

A desigualdade do Passo 5 diz exatamente que, para quaisquer x,y\in I com x<y, vale
(f-g)(x)\le (f-g)(y).
Pelo conceito de Passo 2, isso significa que f-g é crescente em I. Concluímos a prova.

Passo 7

Comentário adicional (útil para prova rápida ou para a prova se pedirem versão estrita):
  • Se f for estritamente crescente (isto é, para x<y tem f(x)<f(y)) e g for estritamente decrescente (isto é, g(x)>g(y)), então as desigualdades no Passo 3 e Passo 4 são estritas, e ao somá-las obtemos
f(x)-g(x) < f(y)-g(y),
portanto f-g é estritamente crescente. Ou seja, a propriedade estrita também é preservada por essa operação.
Exemplo numérico rápido para intuir: tome f(x)=x (crescente) e g(x)=-x (decrescente). Então f(x)-g(x)=x-(-x)=2x, que é crescente. Isso ilustra o que provamos de forma geral.

Resposta

f-g é crescente em I.

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