Exercício 18. Prove que, se
é crescente e
é decrescente em
, então
é crescente em I .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é crescente em . -
é decrescente em .
O que se pede:
- Provar que
é crescente em .
Passo 2
Primeiro vamos recordar com calma o que significam “crescente” e “decrescente” (vou usar a definição em termos de desigualdades, que é a que costuma aparecer em prova).
Definições (não assuma que já sabe isto — é fundamental):
- Dizemos que uma função
é crescente em quando, para quaisquer com , vale
Isto significa: ao aumentar a entrada, o valor da função não diminui.
- Dizemos que uma função
é decrescente em quando, para quaisquer com , vale
Isto significa: ao aumentar a entrada, o valor da função não aumenta.
Observação rápida: se as desigualdades acima forem estritas (
e
), então chamamos de estritamente crescente/decrescente. Mais adiante comento esse caso.
Passo 3
Vamos montar a prova direta usando essas definições. A ideia é comparar
e
quando
. Para isso precisamos usar as duas propriedades dadas:
- de
crescente: para temos
- de
decrescente: para temos
Passo 4
A partir de
podemos multiplicar ambos os lados por
. Lembre-se: multiplicar por número negativo inverte a desigualdade. Assim obtemos
Expliquei por que: se
então
; é o mesmo princípio.
Passo 5
Agora somamos as desigualdades obtidas em Passo 3 e Passo 4. Somar desigualdades compatíveis é permitido: se
e
, então
. Aplicando com
,
,
,
, temos, para
,
Escrevendo de forma mais clara,
Passo 6
A desigualdade do Passo 5 diz exatamente que, para quaisquer
com
, vale
Pelo conceito de Passo 2, isso significa que
é crescente em
. Concluímos a prova.
Passo 7
Comentário adicional (útil para prova rápida ou para a prova se pedirem versão estrita):
- Se
for estritamente crescente (isto é, para tem ) e for estritamente decrescente (isto é, ), então as desigualdades no Passo 3 e Passo 4 são estritas, e ao somá-las obtemos
portanto
é estritamente crescente. Ou seja, a propriedade estrita também é preservada por essa operação.
Exemplo numérico rápido para intuir: tome
(crescente) e
(decrescente). Então
, que é crescente. Isso ilustra o que provamos de forma geral.