Exercício 17. Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, com h \neq 0 para f(x) igual a
f(x)=\frac{a}{x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado f(x)=\dfrac{a}{x^{2}} com a sendo uma constante.
  • Pede para simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h\neq 0.
  • Informações relevantes: h\neq 0. Além disso, para que as expressões estejam bem definidas é necessário x\neq 0 e x+h\neq 0 (para não dividir por zero).

Passo 2

Substituir x+h na função para obter f(x+h).
f(x+h)=\frac{a}{(x+h)^{2}}.

Passo 3

Escrever a diferença f(x+h)-f(x) e colocar sobre h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{a}{(x+h)^{2}}-\dfrac{a}{x^{2}}}{h}.
Aqui vale a pena notar uma técnica útil: quando duas frações têm o mesmo fator a, dá para fatorar a. Vou fazer isso no próximo passo para simplificar.

Passo 4

Fatorar a no numerador e reunir as duas frações em uma única fração com denominador comum x^{2}(x+h)^{2}. Fazer isso passo a passo:
\frac{\dfrac{a}{(x+h)^{2}}-\dfrac{a}{x^{2}}}{h} = \frac{a\!\left(\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{h} = \frac{a\left(\dfrac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}\right)}{h}.

Passo 5

Calcular a diferença x^{2}-(x+h)^{2}. Primeiro expandir (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Logo
x^{2}-(x+h)^{2}=x^{2}-(x^{2}+2xh+h^{2})=-2xh-h^{2}.
Fatorando h (isso vai ser útil porque há um h no denominador que podemos cancelar):
-2xh-h^{2}=-h(2x+h).

Passo 6

Substituir essa expressão na fração obtida em

Passo 7

\frac{a\left(\dfrac{-h(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}\right)}{h} = \frac{a\cdot (-h)(2x+h)}{h\cdot x^{2}(x+h)^{2}}.
Agora cancelar o fator h que aparece no numerador e no denominador (podemos fazer isso porque foi dado h\neq 0):
\frac{a\cdot (-h)(2x+h)}{h\cdot x^{2}(x+h)^{2}} = -\frac{a(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.

Passo 8

Interpretando o resultado e observações finais:
  • A expressão já está simplificada: -\dfrac{a(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}.
  • Lembrar das restrições de domínio: x\neq 0, x+h\neq 0 e h\neq 0.
  • Observação didática curta: este quociente é o quociente incremental (difference quotient). Se quiser o derivado f'(x), basta fazer h\to 0 nessa expressão e obter f'(x)=-\dfrac{2a}{x^{3}}.

Resposta

-\dfrac{a(2x+h)}{x^{2}(x+h)^{2}}

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