Exercício 17. Simplifique
, com
para
igual a
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado
com sendo uma constante. - Pede para simplificar a expressão
com . - Informações relevantes:
. Além disso, para que as expressões estejam bem definidas é necessário e (para não dividir por zero).
Passo 2
Substituir
na função para obter
.
Passo 3
Escrever a diferença
e colocar sobre
:
Aqui vale a pena notar uma técnica útil: quando duas frações têm o mesmo fator
, dá para fatorar
. Vou fazer isso no próximo passo para simplificar.
Passo 4
Fatorar
no numerador e reunir as duas frações em uma única fração com denominador comum
. Fazer isso passo a passo:
Passo 5
Calcular a diferença
. Primeiro expandir
:
Logo
Fatorando
(isso vai ser útil porque há um
no denominador que podemos cancelar):
Passo 6
Substituir essa expressão na fração obtida em
Passo 7
Agora cancelar o fator
que aparece no numerador e no denominador (podemos fazer isso porque foi dado
):
Passo 8
Interpretando o resultado e observações finais:
- A expressão já está simplificada:
. - Lembrar das restrições de domínio:
, e . - Observação didática curta: este quociente é o quociente incremental (difference quotient). Se quiser o derivado
, basta fazer nessa expressão e obter .