Exercício 17. Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, com h \neq 0 para f(x) igual a
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Foi dada a função f definida por f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+2}.
  • Pede-se que se simplifique a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} para h\neq 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável x é a variável da função.
  • A variável h é o incremento (e h\neq 0 para que a fração esteja bem definida).
  • Em qualquer passo que envolva divisão, devemos garantir que os denominadores não sejam zero; aqui aparecem os denominadores x^{2}+2 e (x+h)^{2}+2, que nunca são zero para x real (pois x^{2}+2\ge 2), então não há problema com isso.

Passo 2

Substituir x por x+h em f para obter f(x+h) e escrever a diferença.
  • Substituição:
f(x+h)=\frac{x+h+1}{(x+h)^{2}+2}.
  • A diferença no numerador da diferença-quotiente é
f(x+h)-f(x)=\frac{x+h+1}{(x+h)^{2}+2}-\frac{x+1}{x^{2}+2}.

Passo 3

Lembrar como subtrair duas frações: para \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D} usa-se o denominador comum BD e obtém-se \dfrac{AD-BC}{BD}. Aplicando isso ao nosso caso:
f(x+h)-f(x)=\frac{(x+h+1)(x^{2}+2)-(x+1)\big((x+h)^{2}+2\big)}{\big((x+h)^{2}+2\big)(x^{2}+2)}.
Portanto
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{(x+h+1)(x^{2}+2)-(x+1)\big((x+h)^{2}+2\big)}{h\,(x^{2}+2)\big((x+h)^{2}+2\big)}.

Passo 4

expandir (x+h)^{2} para facilitar as contas:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
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(x+h)^{2}+2 = x^{2}+2xh+h^{2}+2.

Passo 5

Para simplificar o numerador, vale a pena usar uma manobra inteligente: escrever (x+h+1)(x^{2}+2) como (x+1)(x^{2}+2)+h(x^{2}+2). Assim o numerador fica
\begin{aligned} &\,(x+h+1)(x^{2}+2)-(x+1)\big((x+h)^{2}+2\big)\\\ ={}&(x+1)(x^{2}+2)+h(x^{2}+2)-(x+1)\big(x^{2}+2xh+h^{2}+2\big). \end{aligned}
Agora agrupa-se o termo com (x+1):
\begin{aligned} &=(x+1)\Big((x^{2}+2)-\big(x^{2}+2xh+h^{2}+2\big)\Big)+h(x^{2}+2)\\\ ={}&(x+1)\big(-2xh-h^{2}\big)+h(x^{2}+2). \end{aligned}
Factorizando h em todo o numerador:
\begin{aligned} &=(x+1)\big(-h(2x+h)\big)+h(x^{2}+2)\\\ ={}&-h(x+1)(2x+h)+h(x^{2}+2)\\\ ={}&h\Big(- (x+1)(2x+h) + (x^{2}+2)\Big). \end{aligned}

Passo 6

Cancelar o fator h (lembrando que h\neq 0) entre numerador e denominador e escrever a forma simplificada final.
Depois de cancelar h, obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{- (x+1)(2x+h) + (x^{2}+2)}{(x^{2}+2)\big((x+h)^{2}+2\big)}.
Podemos reorganizar o numerador expandindo ou reescrevendo de forma mais compacta. Expandindo - (x+1)(2x+h) e somando x^{2}+2 resulta em
- x^{2} - xh - 2x - h + 2,
que também pode ser escrito como
2 - x^{2} - 2x - h(x+1).
Portanto a forma final simplificada é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{2 - x^{2} - 2x - h(x+1)}{(x^{2}+2)\big((x+h)^{2}+2\big)}.

Resposta

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{2 - x^{2} - 2x - h(x+1)}{(x^{2}+2)\big((x+h)^{2}+2\big)}

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