Exercício 17. Simplifique
, com
para
igual a
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Foi dada a função
definida por . - Pede-se que se simplifique a expressão
para .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
é a variável da função. - A variável
é o incremento (e para que a fração esteja bem definida). - Em qualquer passo que envolva divisão, devemos garantir que os denominadores não sejam zero; aqui aparecem os denominadores
e , que nunca são zero para real (pois ), então não há problema com isso.
Passo 2
Substituir
por
em
para obter
e escrever a diferença.
- Substituição:
- A diferença no numerador da diferença-quotiente é
Passo 3
Lembrar como subtrair duas frações: para
usa-se o denominador comum
e obtém-se
. Aplicando isso ao nosso caso:
Portanto
Passo 4
expandir
para facilitar as contas:
logo
Passo 5
Para simplificar o numerador, vale a pena usar uma manobra inteligente: escrever
como
. Assim o numerador fica
Agora agrupa-se o termo com
:
Factorizando
em todo o numerador:
Passo 6
Cancelar o fator
(lembrando que
) entre numerador e denominador e escrever a forma simplificada final.
Depois de cancelar
, obtemos
Podemos reorganizar o numerador expandindo ou reescrevendo de forma mais compacta. Expandindo
e somando
resulta em
que também pode ser escrito como
Portanto a forma final simplificada é