Exercício 6. (D.K. ex. 15.1 e 15.5 (Parcialmente))
a) Seja e dado por . Mostre que o núcleo de é a distribuição dada por
b) Seja a transformada de Fourier. Mostre que é contínua e seu núcleo é dado por
Passo 1
O exercício tem duas partes. Na (a) estamos em e definimos o operador linear
onde . Queremos mostrar que existe uma distribuição
tal que para toda vale
e que este é de fato o núcleo de .
Na (b) olhamos a transformada de Fourier
mas restrita a , e mostramos que é contínua e tem núcleo
em .
Passo 2
Parte (a): definição e verificação de que é bem-definida e coincide com o núcleo de .
Para cada definimos a função de uma variávelComo , faz sentido avaliarA continuidade de chimapstochi(x,x) em cada seminorma de Cc^infty(OmegatimesOmega) garante que k é uma distribuição em OmegatimesOmega.
Agora, para ver que k dá o núcleo de K, tomemos phiin Cc^infty(Omega) e psiin Cc^infty(Omega). A representação por núcleo exige llang<=K(phi),,psirrang<= ;=; llang<= k,,psi(x),phi(y)rrang<=x,y Mas lang<=K(phi),psirang<= =lang<=phi,u,psirang<= =lang<= u,phi,psirang<= =ul(phi(x),psi(x)r) =kl(psi(x),phi(y)r), mostrando que k é exatamente o núcleo buscado.
Passo 3
Parte (b): continuidade de Fcolon Cc^infty(R^n)toD'(R^n).
Sabemos que F:S(R^n)toS(R^n) é um automorfismo contínuo (topologia de Fréchet).
A inclusão Cc^infty(R^n)hookrightarrowS(R^n) é contínua pois toda seminorma de S é limitada por seminormas de Cc^infty quando o suporte fica num compacto fixo.
A inclusão S(R^n)hookrightarrowD'(R^n) é contínua pela definição de topologia em distribuições (cada seminorma de distribuição vem de uma seminorma de S).
Compondo essas flechas Cc^infty(R^n);xrightarrow subset S(R^n) ;xrightarrowF; S(R^n) ;xrightarrow subset ; D'(R^n), obtemos que F:Cc^inftytoD' é contínua.
Passo 4
Parte (b): identificação do núcleo kinD'(R^ntimesR^n).
Para phi,psiin Cc^infty(R^n) temos lang<=F(phi),psirang<= =integralR^nl(Fphir)(x),psi(x),dx =integralR^n!integralR^n e^-i,xcdot y,phi(y),dy;psi(x),dx
Reagrupando como par ação de uma distribuição em R^nxtimesR^ny, vemos que lang<=F(phi),psirang<= =integral dupla e^-i,xcdot y,psi(x),phi(y),dx,dy =llang<= k,,psi(x),phi(y)rrang<=, o que mostra que o núcleo é k(x,y)=e^-i,xcdot y entendido como elemento de D'(R^ntimesR^n).
Resposta
(a) O núcleo de K(phi)=phi,u é
k(chi)=ul(chi(x,x)r), kinD'(OmegatimesOmega)
(b) A transformada de Fourier vista como F:Cc^infty(R^n)toD'(R^n) é contínua e seu núcleo é