Exercício 5. (D.K. ex. 18.2) Seja u in S^prime(R^n), com u neq 0, uma solução do problema De<a u=lambda u, lambda in C, tal qual no exercício 4. Mostre que u tem uma extensão holomorfa em C^n e que existem constantes c>0 e k in N0 tais que
|u(z)| <= c(1+|z|)^k e^raiz-lambda|Im(z)|, forall z in C^n

Passo 1

O enunciado dá uinS'(R^n), uneq0, solucionando
De<a u=lambda,u,
onde lambdainC. Queremos mostrar que
  1. u se estende a uma função inteira u(z), zinC^n.
  2. Existem constantes c>0 e kinN0 tais que
|u(z)|<= c,(1+|z|)^k,e^raiz-lambda,|Im z|, forall,zinC^n
Para isso usaremos a transformada de Fourier em S' e o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz.

Passo 2

Aplique a transformada de Fourier (com convenção ) à equação . Como
segue em que
Isto implica que só pode ter apoio no conjunto
Para que esse conjunto não seja vazio (senão ), precisamos de real, e então definimos
de modo que
que é compacto.

Passo 3

Como widehatuinE'(R^n) (distribuição com suporte compacto), o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz garante que sua transformada inversa u estende-se a uma função holomorfa inteira u(z) em C^n e satisfaz um estimador do tipo
|u(z)|;<=;C,(1+|z|)^k;e^R,|Im z|,
para certos C>0 e kinN0.

Passo 4

Bastou notar que o raio R do suporte de widehatu é exatamente raiz-lambda. Logo podemos reescrever o estimador acima com constantes c=C e k adequadas:
|u(z)|<= c,(1+|z|)^k,e^raiz-lambda,|Im z|,
válido para todo zinC^n.

Resposta

Existem c>0 e kinN0 tais que a extensão inteira de u satisfaz
|u(z)|<= c,(1+|z|)^k,e^raiz-lambda,|Im z|, forall,zinC^n

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