Exercício 5. (D.K. ex. 18.2) Seja
, com
, uma solução do problema
, tal qual no exercício 4. Mostre que
tem uma extensão holomorfa em
e que existem constantes
e
tais que
Passo 1
O enunciado dá
,
, solucionando
onde
. Queremos mostrar que
-
se estende a uma função inteira , . - Existem constantes
e tais que
Para isso usaremos a transformada de Fourier em
e o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz.
Passo 2
Aplique a transformada de Fourier (com convenção
) à equação
. Como
segue em
que
Isto implica que
só pode ter apoio no conjunto
Para que esse conjunto não seja vazio (senão
), precisamos de
real, e então definimos
de modo que
que é compacto.
Passo 3
Como
(distribuição com suporte compacto), o Teorema de Paley–Wiener–Schwartz garante que sua transformada inversa
estende-se a uma função holomorfa inteira
em
e satisfaz um estimador do tipo
para certos
e
.
Passo 4
Bastou notar que o raio
do suporte de
é exatamente
. Logo podemos reescrever o estimador acima com constantes
e
adequadas:
válido para todo
.
Resposta
Existem
e
tais que a extensão inteira de
satisfaz