Exercício 17 Em um tanque de água, existem 10 da espécie A e 40 da espécie B. Um pescador seleciona 4 peixes deste tanque ao acaso e sem reposição.
(a) Calcule as probabilidades de que, nesta amostra, haja exatamente k peixes da espécie B ? (b)
Qual a probabilidade de que, nesta amostra, seja selecionado pelo menos um peixe da espécie B ?

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente tem um tanque com 10 peixes da espécie A e 40 da espécie B, totalizando 50 peixes. O pescador tira 4 peixes sem repor.
Conteúdo: probabilidade discreta (distribuição hipergeométrica).
O que vamos precisar: entender como contar as escolhas possíveis usando combinações (coeficientes binomiais) e depois montar a fórmula da probabilidade.

Passo 2

Antes de mais nada, combinações. Se você quer escolher k itens de um conjunto de n sem se importar com a ordem, o número de jeitos é
binomnk ;=;n!k!,(n-k)!
Aqui, a gente vai contar:
  • De quantas formas escolho k peixes B entre os 40, ou seja .
  • De quantas formas escolho os outros peixes A entre os 10, ou seja .
  • E o total de jeitos de escolher 4 peixes de 50 é .

Passo 3

(a) Para exatamente P(X = k) =binom40k,binom104-kbinom504, peixes da espécie B (e, logo, da A), a probabilidade é
onde pode ser 0,1,2,3 ou 4.
Isso é a famosa distribuição hipergeométrica: a gente conta casos “favoráveis” sobre casos “totais”.

Passo 4

(b) Agora “pelo menos um peixe B” significa P(X>=1) =1 - P(X=0) . É mais fácil usar o complemento:
P(X=0) =binom400,binom104binom504 =binom104binom504
E já sabemos que
P(X>=1) =1 - binom104binom504
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Resposta

(a)
(b)

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