Exercício 17 Em um tanque de água, existem 10 da espécie A e 40 da espécie B. Um pescador seleciona 4 peixes deste tanque ao acaso e sem reposição.
(a) Calcule as probabilidades de que, nesta amostra, haja exatamente
peixes da espécie
? (b)
Qual a probabilidade de que, nesta amostra, seja selecionado pelo menos um peixe da espécie
?
(a) Calcule as probabilidades de que, nesta amostra, haja exatamente
Passo 1
Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente tem um tanque com 10 peixes da espécie A e 40 da espécie B, totalizando 50 peixes. O pescador tira 4 peixes sem repor.
Conteúdo: probabilidade discreta (distribuição hipergeométrica).
O que vamos precisar: entender como contar as escolhas possíveis usando combinações (coeficientes binomiais) e depois montar a fórmula da probabilidade.
Conteúdo: probabilidade discreta (distribuição hipergeométrica).
O que vamos precisar: entender como contar as escolhas possíveis usando combinações (coeficientes binomiais) e depois montar a fórmula da probabilidade.
Passo 2
Antes de mais nada, combinações. Se você quer escolher k itens de um conjunto de n sem se importar com a ordem, o número de jeitos é
Aqui, a gente vai contar:
- De quantas formas escolho k peixes B entre os 40, ou seja
. - De quantas formas escolho os outros
peixes A entre os 10, ou seja . - E o total de jeitos de escolher 4 peixes de 50 é
.
Passo 3
(a) Para exatamente
peixes da espécie B (e, logo,
da A), a probabilidade é
onde
pode ser 0,1,2,3 ou 4.
Isso é a famosa distribuição hipergeométrica: a gente conta casos “favoráveis” sobre casos “totais”.
Isso é a famosa distribuição hipergeométrica: a gente conta casos “favoráveis” sobre casos “totais”.
Passo 4
(b) Agora “pelo menos um peixe B” significa
. É mais fácil usar o complemento:
E já sabemos que
Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)