Exercício 17: Uma vacina, com taxa de imunização de 80 \% segundo o fabricante, foi aplicada num conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar sua imunização.
a) Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas, no grupo das 20 crianças?
b) Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria?

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que o problema pede e o que nos foi dado):
  • Foi aplicada uma vacina que, segundo o fabricante, imuniza 80\% das crianças.
  • Foi sorteado um grupo de 20 crianças que receberam a vacina e foram testadas.
  • Pergunta (a): sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual a probabilidade de obter exatamente 3 crianças não imunizadas entre as 20?
  • Pergunta (b): que critério eu estabeleceria para aceitar ou rejeitar a afirmação do fabricante com base numa amostra como essa?
  • Informações extraídas do enunciado: tamanho da amostra n=20; taxa de imunização alegada =80\% (ou seja, probabilidade de estar imunizado p_{\text{imun}}=0,8), logo a probabilidade de NÃO estar imunizado, sob a hipótese do fabricante, é p_{\text{não}}=1-0,8=0,2ã.

Passo 2

Modelagem do experimento (qual variável aleatória usar e por quê):
  • Vamos contar o número de crianças NÃO imunizadas no grupo de 20. Denotamos por X essa quantidade.
  • Como cada criança testada pode ser classificada como “não imunizada” (com probabilidade p_{\text{não}}=0,2ã) ou “imunizada” (com probabilidade 0,8), e as crianças são testadas de forma independente, X segue uma distribuição binomial.
  • Escrevemos portanto
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=20,\;p=0,2\bigr).
  • A função de probabilidade da binomial (pmf) é: para k=0,1,\dots,n,
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k},
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de combinações de n elementos tomados k a k, que conta as diferentes formas de escolher quais k crianças são não imunizadas;
  • p é a probabilidade de “sucesso” — aqui escolhemos como “sucesso” o evento “não imunizado”, então p=0,2;
  • 1-p é a probabilidade complementar (aqui 0,8).

Passo 3

Cálculo detalhado da combinação \binom{20}{3}:
  • Usamos a fórmula \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • Para \binom{20}{3} é mais prático fazer:
\binom{20}{3}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1} = \frac{6840}{6}=1140.

Passo 4

Aplicação da fórmula da distribuição binomial para k=3:
  • Substituindo em \displaystyle P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k} com n=20, k=3, p=0,2:
P(X=3)=\binom{20}{3}(0,2)^{3}(0,8)^{17}.
  • Já calculamos \binom{20}{3}=1140. Agora calculamos as potências:
    • (0,2)^{3}=0,2^{3}=0,008.
    • Para (0,8)^{17} fazemos por decomposição de potências para não depender de calculadora direta:
      • (0,8)^{5}=0,32768.
      • (0,8)^{10}=(0,8)^{5}\cdot(0,8)^{5}=0,32768^{2}=0,1073741824.
      • (0,8)^{7}=(0,8)^{5}\cdot(0,8)^{2}=0,32768\cdot 0,64=0,2097152.
      • Logo (0,8)^{17}=(0,8)^{10}\cdot(0,8)^{7}=0,1073741824\cdot 0,2097152=0,02251799813685248 (esse produto pode ser feito reconhecendo potências de 2 ou multiplicando passo a passo).
  • Agora multiplicamos todos os fatores:
    • Primeiro 1140\cdot 0,008 = 9,12.
    • Em seguida 9,12\cdot 0,02251799813685248 \approx 0,2053641430.
  • Portanto, a probabilidade pedida é aproximadamente 0,20536, isto é, cerca de 20{,}54\%.

Passo 5

Interpretação do resultado da parte (a):
  • Se a afirmação do fabricante for verdadeira ( 80\% imunizados, logo 20\% não imunizados), a chance de, num sorteio de 20 crianças, encontrarmos exatamente 3 não imunizados é cerca de 0{,}2054 (aprox. 20{,}5\%).
  • Isso já dá uma intuição: obter exatamente 3 não imunizados é um resultado bastante plausível sob a hipótese do fabricante — não é um evento raro.

Passo 6

Como montar um critério de decisão (passo a passo didático — resposta à parte (b)):
  • Objetivo: decidir se os dados amostrais (o número observado de não imunizados) são compatíveis com a taxa 80\% anunciada, ou se há evidência suficiente para rejeitar essa afirmação.
  • Passos que eu estabeleceria numa prova ou no trabalho prático:
    1. Formular hipóteses:
    H_0:\; p_{\text{imun}}=0,8\quad\text{(afirmação do fabricante)}çã
H_1:\; p_{\text{imun}}\neq 0,8\quad\text{(a taxa é diferente de \(80\%\))}é
Isso é um teste bilateral, porque queremos verificar se a taxa difere (pode ser menor ou maior).
2. Escolher um nível de significância \alpha. Um valor usual é \alpha=0,05 (outra opção seria \alpha=0,01 se quisermos ser mais exigentes).
3. Escolher o teste apropriado: como n=20 não é muito grande, eu usaria o teste exato binomial (teste binomial exato) baseado em X\sim\mathrm{Bin}(20,0,2), onde X é o número de NÃO imunizados sob H_0.
4. Calcular o valor-p (p-value) do resultado observado: o valor-p é a probabilidade, sob H_0, de obter um resultado tão extremo quanto o observado. Para um teste bilateral com distribuição discreta existem duas maneiras práticas:
- método preciso (recomendado): somar as probabilidades de todos os resultados cujo valor da pmf é menor ou igual ao da observação (procedimento exato); ou
- aproximação simples: calcular P(X\le k_{\text{obs}}) e P(X\ge k_{\text{obs}}) e tomar \text{valor-p}\approx 2\min\{P(X\le k_{\text{obs}}),\,P(X\ge k_{\text{obs}})\}. Esta segunda abordagem é mais rápida e dá boa ideia prática, embora o método exato seja o mais rigoroso.
5. Tomar decisão: rejeitar H_0 se o valor-p \le \alpha; caso contrário, não rejeitar H_0 (aceitar a afirmação do fabricante como compatível com os dados).
6. Justificativa prática: como n é pequeno, evite aproximações normais; use a distribuição binomial exata. Se preferir uma regra direta por limites, você pode encontrar valores críticos k_{\text{baixo}} e k_{\text{alto}} tais que P(X\le k_{\text{baixo}})\le \alpha/2 e P(X\ge k_{\text{alto}})\le \alpha/2 e rejeitar para X\le k_{\text{baixo}} ou X\ge k_{\text{alto}}. (Esses k são obtidos somando probabilidades da binomial até atingir os limiares.)
  • Observação prática aplicada a este caso: se na amostra observássemos exatamente 3 não imunizados (como na parte (a)), calculamos o valor-p aproximado usando o método simples:
    • Primeiro calcule P(X\le 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3).
    • Nós já temos P(X=0)\approx 0,011529, P(X=1)\approx 0,057646, P(X=2)\approx 0,136909 e P(X=3)\approx 0,205364.
    • Somando: P(X\le 3)\approx 0,011529+0,057646+0,136909+0,205364\approx 0,411448.
    • O complemento é P(X\ge 3)=1-P(X\le 2), mas para a regra de duas caudas usamos 2\min\{P(X\le 3),P(X\ge 3)\}. Aqui \min\{0,411448,1-0,411448\}= 0,411448, então a aproximação dá valor-p \approx 2\cdot 0,411448\approx 0,8229.
    • Esse valor-p é muito maior que \alpha=0,05, logo NÃO rejeitamos H_0: a amostra com 3 não imunizados é compatível com a taxa de 80\%.
  • Conclusão prática do critério: adotar um teste binomial exato bilateral com nível \alpha (por exemplo \alpha=0,05); calcular o valor-p a partir da binomial e rejeitar a afirmação do fabricante somente se o valor-p for \le \alpha. No caso concreto com 3 não imunizados, não há evidência para rejeitar a afirmação do fabricante.

Resposta

(a) \displaystyle P(X=3)=\binom{20}{3}(0,2)^{3}(0,8)^{17}\approx 0,2053641430 (≈ 0{,}2054).\n(b) Critério: testar \;H_0:p_{\text{imun}}=0,8 versus \;H_1:p_{\text{imun}}\neq0,8 usando o teste binomial exato (nível \alpha, por exemplo \alpha=0,05); calcular o valor-p e rejeitar H_0 se valor-p \le\alpha. Aplicando esse procedimento ao caso observado de 3 não imunizados, o valor-p ≈ 0,823, logo NÃO rejeitar H_0 (a amostra é compatível com a taxa de 80\%).

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