Exercício 17: Uma vacina, com taxa de imunização de
segundo o fabricante, foi aplicada num conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar sua imunização.
a) Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas, no grupo das 20 crianças?
b) Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria?
a) Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas, no grupo das 20 crianças?
b) Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria?
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (o que o problema pede e o que nos foi dado):
- Foi aplicada uma vacina que, segundo o fabricante, imuniza
das crianças. - Foi sorteado um grupo de
crianças que receberam a vacina e foram testadas. - Pergunta (a): sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual a probabilidade de obter exatamente
crianças não imunizadas entre as ? - Pergunta (b): que critério eu estabeleceria para aceitar ou rejeitar a afirmação do fabricante com base numa amostra como essa?
- Informações extraídas do enunciado: tamanho da amostra
; taxa de imunização alegada (ou seja, probabilidade de estar imunizado ), logo a probabilidade de NÃO estar imunizado, sob a hipótese do fabricante, é .
Passo 2
Modelagem do experimento (qual variável aleatória usar e por quê):
- Vamos contar o número de crianças NÃO imunizadas no grupo de
. Denotamos por essa quantidade. - Como cada criança testada pode ser classificada como “não imunizada” (com probabilidade
) ou “imunizada” (com probabilidade ), e as crianças são testadas de forma independente, segue uma distribuição binomial. - Escrevemos portanto
- A função de probabilidade da binomial (pmf) é: para
,
onde:
-
é o número de combinações de elementos tomados a , que conta as diferentes formas de escolher quais crianças são não imunizadas; -
é a probabilidade de “sucesso” — aqui escolhemos como “sucesso” o evento “não imunizado”, então ; -
é a probabilidade complementar (aqui ).
Passo 3
Cálculo detalhado da combinação
:
- Usamos a fórmula
. - Para
é mais prático fazer:
Passo 4
Aplicação da fórmula da distribuição binomial para
:
- Substituindo em
com , , :
- Já calculamos
. Agora calculamos as potências: -
- Para
fazemos por decomposição de potências para não depender de calculadora direta: -
-
-
- Logo
(esse produto pode ser feito reconhecendo potências de ou multiplicando passo a passo).
-
-
- Agora multiplicamos todos os fatores:
- Primeiro
- Em seguida
- Primeiro
- Portanto, a probabilidade pedida é aproximadamente
, isto é, cerca de .
Passo 5
Interpretação do resultado da parte (a):
- Se a afirmação do fabricante for verdadeira (
imunizados, logo não imunizados), a chance de, num sorteio de crianças, encontrarmos exatamente não imunizados é cerca de (aprox. ). - Isso já dá uma intuição: obter exatamente 3 não imunizados é um resultado bastante plausível sob a hipótese do fabricante — não é um evento raro.
Passo 6
Como montar um critério de decisão (passo a passo didático — resposta à parte (b)):
- Objetivo: decidir se os dados amostrais (o número observado de não imunizados) são compatíveis com a taxa
anunciada, ou se há evidência suficiente para rejeitar essa afirmação. - Passos que eu estabeleceria numa prova ou no trabalho prático:
- Formular hipóteses:
Isso é um teste bilateral, porque queremos verificar se a taxa difere (pode ser menor ou maior).
2. Escolher um nível de significância . Um valor usual é
(outra opção seria
se quisermos ser mais exigentes).
3. Escolher o teste apropriado: como não é muito grande, eu usaria o teste exato binomial (teste binomial exato) baseado em
, onde
é o número de NÃO imunizados sob
.
4. Calcular o valor-p (p-value) do resultado observado: o valor-p é a probabilidade, sob , de obter um resultado tão extremo quanto o observado. Para um teste bilateral com distribuição discreta existem duas maneiras práticas:
- método preciso (recomendado): somar as probabilidades de todos os resultados cujo valor da pmf é menor ou igual ao da observação (procedimento exato); ou
- aproximação simples: calcular e
e tomar
. Esta segunda abordagem é mais rápida e dá boa ideia prática, embora o método exato seja o mais rigoroso.
5. Tomar decisão: rejeitar se o valor-p
; caso contrário, não rejeitar
(aceitar a afirmação do fabricante como compatível com os dados).
6. Justificativa prática: como é pequeno, evite aproximações normais; use a distribuição binomial exata. Se preferir uma regra direta por limites, você pode encontrar valores críticos
e
tais que
e
e rejeitar para
ou
. (Esses
são obtidos somando probabilidades da binomial até atingir os limiares.)
2. Escolher um nível de significância
3. Escolher o teste apropriado: como
4. Calcular o valor-p (p-value) do resultado observado: o valor-p é a probabilidade, sob
- método preciso (recomendado): somar as probabilidades de todos os resultados cujo valor da pmf é menor ou igual ao da observação (procedimento exato); ou
- aproximação simples: calcular
5. Tomar decisão: rejeitar
6. Justificativa prática: como
- Observação prática aplicada a este caso: se na amostra observássemos exatamente
não imunizados (como na parte (a)), calculamos o valor-p aproximado usando o método simples: - Primeiro calcule
. - Nós já temos
, , e . - Somando:
- O complemento é
, mas para a regra de duas caudas usamos . Aqui , então a aproximação dá valor-p . - Esse valor-p é muito maior que
, logo NÃO rejeitamos : a amostra com não imunizados é compatível com a taxa de .
- Primeiro calcule
- Conclusão prática do critério: adotar um teste binomial exato bilateral com nível
(por exemplo ); calcular o valor-p a partir da binomial e rejeitar a afirmação do fabricante somente se o valor-p for . No caso concreto com não imunizados, não há evidência para rejeitar a afirmação do fabricante.
Resposta
(a)
(≈
).\n(b) Critério: testar
versus
usando o teste binomial exato (nível
, por exemplo
); calcular o valor-p e rejeitar
se valor-p
. Aplicando esse procedimento ao caso observado de
não imunizados, o valor-p ≈
, logo NÃO rejeitar
(a amostra é compatível com a taxa de
).