Exercício 15: Se
(modelo usual com suporte
), qual é o modelo de
? Interprete.
Passo 1
O enunciado dá que
no modelo usual com suporte
. Define-se
e a pergunta é: qual é o modelo (distribuição) de
? Além disso, pede-se uma interpretação do que significa essa nova variável. Informação relevante dada:
tem suporte
.
é simplesmente
deslocado em
.
Não há outras informações nem restrições adicionais no enunciado.
Não há outras informações nem restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Lembrete básico e intuitivo sobre a distribuição geométrica (modelo usual):
é o número de ensaios até o primeiro sucesso, com probabilidade de sucesso em cada ensaio igual a
. A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente no ensaio
(isto é,
) é dada por:
Explicação da fórmula: para que o primeiro sucesso seja no ensaio
é preciso ter
fracassos iniciais (cada um com probabilidade
) seguidos de um sucesso no
-ésimo (probabilidade
). Como os ensaios são independentes, multiplicamos as probabilidades:
.
Passo 3
Queremos a distribuição de
. Primeiro identifiquemos o suporte de
. Como
, então
Para uma transformação discreta do tipo
com
bijetiva entre suportes correspondentes, vale a fórmula simples
Aqui
e
. Portanto
Passo 4
Substituímos a pmf de
na expressão anterior. Para
temos
Portanto a função de massa de probabilidade de
é
Passo 5
Interpretação direta e intuitiva:
tem exatamente a mesma “forma” de uma geométrica com parâmetro
, só que deslocada para a direita em
. Em termos formais:
Isto quer dizer que
representa o número de ensaios até o primeiro sucesso mais um ensaio extra. Um modo de interpretar: se
conta quantos ensaios foram feitos até o primeiro sucesso, então
conta exatamente isso, mas iniciando a contagem em
em vez de
(ou pensando como “há um ensaio adicional antes de começar a contar”). Em aplicações, esse deslocamento pode representar um atraso fixo de uma unidade de tempo/ensaio antes de começar a observar o processo.
Passo 6
Propriedades úteis (rápidas) que ajudam a entender o efeito do deslocamento:
Efeito no valor esperado:
Efeito no valor esperado:
Efeito na variância:
Ou seja, deslocar soma 1 à média e não altera a variância.
Passo 7
Exemplo numérico pequeno para “sentir” a distribuição: se
,
e assim por diante — mesma queda geométrica, só iniciando em
.
Resposta
Equivalente: