Exercício 15: Se X \sim \operatorname{Geom}(p) (modelo usual com suporte 1,2, \ldots ), qual é o modelo de Y=X+1 ? Interprete.

Passo 1

O enunciado dá que X\sim\operatorname{Geom}(p) no modelo usual com suporte 1,2,\ldots. Define-se Y=X+1 e a pergunta é: qual é o modelo (distribuição) de Y? Além disso, pede-se uma interpretação do que significa essa nova variável. Informação relevante dada:
\;X tem suporte \{1,2,\ldots\}.
\;Y é simplesmente X deslocado em +1.
Não há outras informações nem restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Lembrete básico e intuitivo sobre a distribuição geométrica (modelo usual): \;X é o número de ensaios até o primeiro sucesso, com probabilidade de sucesso em cada ensaio igual a p. A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente no ensaio k (isto é, X=k) é dada por:
P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\qquad k=1,2,\ldots
Explicação da fórmula: para que o primeiro sucesso seja no ensaio k é preciso ter k-1 fracassos iniciais (cada um com probabilidade 1-p) seguidos de um sucesso no k-ésimo (probabilidade p). Como os ensaios são independentes, multiplicamos as probabilidades: (1-p)^{k-1}\cdot p.

Passo 3

Queremos a distribuição de Y=X+1. Primeiro identifiquemos o suporte de Y. Como X\in\{1,2,\ldots\}, então
Y=X+1\in\{2,3,4,\ldots\}.
Para uma transformação discreta do tipo Y=g(X) com g bijetiva entre suportes correspondentes, vale a fórmula simples
P(Y=y)=P(X=g^{-1}(y)).
Aqui g(x)=x+1 e g^{-1}(y)=y-1. Portanto
P(Y=y)=P(X=y-1).

Passo 4

Substituímos a pmf de X na expressão anterior. Para y=2,3,\ldots temos
P(Y=y)=P(X=y-1)=(1-p)^{(y-1)-1}p=(1-p)^{y-2}p.
Portanto a função de massa de probabilidade de Y é
P(Y=y)=(1-p)^{y-2}p,\qquad y=2,3,\ldots

Passo 5

Interpretação direta e intuitiva: Y tem exatamente a mesma “forma” de uma geométrica com parâmetro p, só que deslocada para a direita em 1. Em termos formais:
Y-1\sim\operatorname{Geom}(p).
Isto quer dizer que Y representa o número de ensaios até o primeiro sucesso mais um ensaio extra. Um modo de interpretar: se X conta quantos ensaios foram feitos até o primeiro sucesso, então Y conta exatamente isso, mas iniciando a contagem em 2 em vez de 1 (ou pensando como “há um ensaio adicional antes de começar a contar”). Em aplicações, esse deslocamento pode representar um atraso fixo de uma unidade de tempo/ensaio antes de começar a observar o processo.

Passo 6

Propriedades úteis (rápidas) que ajudam a entender o efeito do deslocamento:
Efeito no valor esperado:
E[Y]=E[X+1]=E[X]+1=\frac{1}{p}+1.
Efeito na variância:
\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(X+1)=\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^{2}}.
Ou seja, deslocar soma 1 à média e não altera a variância.

Passo 7

Exemplo numérico pequeno para “sentir” a distribuição: se p=0,2,
P(Y=2)= (1-0,2)^{0}\cdot 0,2 = 0,2,
P(Y=3)= (1-0,2)^{1}\cdot 0,2 = 0,8\cdot 0,2=0,16,
P(Y=4)= (1-0,2)^{2}\cdot 0,2 = 0,64\cdot 0,2=0,128,
e assim por diante — mesma queda geométrica, só iniciando em y=2.

Resposta

P(Y=y)=(1-p)^{y-2}p,\qquad y=2,3,\ldots
Equivalente: Y-1\sim\operatorname{Geom}(p); isto é, Y é a geométrica de parâmetro p deslocada em +1 (média E[Y]=1/p+1, variância \operatorname{Var}(Y)=(1-p)/p^{2}).

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