Exercício 17. Verifique se a reta é perpendicular ao plano pi: 9 x-6 y-3 z+5=0.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a reta
r: x=-2, y=-1, z é livre é
é perpendicular ao plano
pi:9x-6y-3z+5=0
Conteúdo: geometria no espaço. Para uma reta ser perpendicular a um plano, seu vetor diretor deve ser paralelo ao vetor normal do plano.
Passo 2
Identificamos um vetor diretor de r. Como x e y são constantes e z varia livremente, podemos tomar como parâmetro t=z. Assim
x=-2, y=-1, z=t
tem vetor diretor
u=(0,0,1)
Passo 3
O vetor normal n do plano pi vem dos coeficientes de x,y,z na equação do plano, ou seja,
n=(9,,-6,,-3)
Passo 4
Para que u seja paralelo a n (e logo a reta seja perpendicular ao plano), deve existir um escalar lambda tal que
u=lambda,n
Isso significa comparar componente a componente:
(0,0,1)=lambda,(9,-6,-3)
Passo 5
Igualando componentes:
0=9lambda, 0=-6lambda, 1=-3lambda
Das duas primeiras vem lambda=0, mas da terceira teríamos lambda=-tfrac13. Não há valor de lambda que satisfaça todas as três igualdades ao mesmo tempo.