Em , considere a base . Seja uma outra base de tal que
Encontre o polinômio p(x) in mathscrP2 tal que [p(x)]beta=(-1,1,-1)^top.
Passo 1
O espaço mathscrP2 é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2. Temos duas bases: alpha=,1+x+x^2,;x,;1-x^2 e uma outra base beta, de modo que a matriz de mudança de coordenadas de alpha para beta é
[I]alpha^beta = 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 1 & 3 & 2
Queremos achar o polinômio p(x) tal que suas coordenadas na base beta sejam [p]beta=(-1,1,-1)^top
Passo 2
A relação entre as coordenadas de nas duas bases é
Chamando e denotando
temos
Passo 3
Escrevendo as equações do sistema
2a+3b+2c=-1, a+2b+c=1, a+3b+2c=-1,
subtraímos a segunda da terceira para obter b+c=-2.
Da primeira e do dobro da segunda vem -b=-3, logo b=3.
Então c=-2-b=-5.
Por fim, na segunda equação a+2cdot3+(-5)=1 dá a=0.