Em mathscrP2, considere a base alpha=1+x+x^2, x, 1-x^2. Seja beta uma outra base de mathscrP2 tal que
[I]alpha^beta=[lll 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 1 & 3 & 2 ]
Encontre o polinômio p(x) in mathscrP2 tal que [p(x)]beta=(-1,1,-1)^top.

Passo 1

O espaço mathscrP2 é o conjunto dos polinômios de grau no máximo 2. Temos duas bases:
alpha=,1+x+x^2,;x,;1-x^2 e uma outra base beta, de modo que a matriz de mudança de coordenadas de alpha para beta é
[I]alpha^beta = 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 1 & 3 & 2
Queremos achar o polinômio p(x) tal que suas coordenadas na base beta sejam
[p]beta=(-1,1,-1)^top

Passo 2

A relação entre as coordenadas de nas duas bases é
Chamando e denotando
temos

Passo 3

Escrevendo as equações do sistema
2a+3b+2c=-1, a+2b+c=1, a+3b+2c=-1,
subtraímos a segunda da terceira para obter b+c=-2.
Da primeira e do dobro da segunda vem -b=-3, logo b=3.
Então c=-2-b=-5.
Por fim, na segunda equação a+2cdot3+(-5)=1 a=0.

Passo 4

Concluímos que

Passo 5

Como alpha=,1+x+x^2,;x,;1-x^2, escrevemos
p(x) =0cdot(1+x+x^2)+3cdot x+(-5)cdot(1-x^2) =3x-5+5x^2 =5x^2+3x-5

Resposta

O polinômio procurado é
boxedp(x)=5x^2+3x-5

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