Exercício 18. Determine os valores de m e n para que a reta r:lx=3+t y=-1-t z=-2-t esteja contida no plano pi: 2 x+m y+n z-5=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
Para que seja ortogonal ao vetor normal de , e
2) um ponto de satisfaça a equação de .

Passo 2

O vetor diretor de r é vec v=(1,-1,-1) e o vetor normal de pi é vec n=(2,m,n). A ortogonalidade vec vcdotvec n=0
2cdot1 + mcdot(-1) + ncdot(-1) = 0 Longrightarrow 2 - m - n = 0

Passo 3

Um ponto de r é, por exemplo, o de parâmetro t=0:
P0=(3,-1,-2)
Para que P0 esteja em pi substituímos em 2x+m y+n z-5=0:
2cdot3 + mcdot(-1) + ncdot(-2) -5 = 0 Longrightarrow 6 - m -2n -5 = 0 Longrightarrow 1 - m -2n = 0

Passo 4

Temos o sistema
2 - m - n = 0, 1 - m -2n = 0
Reescrevendo,
m + n = 2, m + 2n = 1,
subtraindo a segunda menos a primeira dá n = -1, e então m +(-1)=2 leva a m=3.

Resposta

m=3 e n=-1.

Exercícios relacionados