Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Função dada:
. - Pede: calcular
e indicar as assíntotas verticais, quando existirem. - Observação importante: a função não está definida em
(divisão por zero), então faz sentido estudar os limites laterais em torno de .
Passo 2
Primeiro vou simplificar e entender o comportamento do numerador quando
.
- Expandindo o quadrado:
. - Como polinômios são funções contínuas, tem-se
Ou seja: o numerador tende para
quando
se aproxima de
.
Passo 3
Rewrite a função para facilitar a análise dos sinais:
Como vimos,
quando
. Então, perto de
o fator
é positivo e fica próximo de
. O comportamento do quociente inteiro próximo de
será, portanto, determinado pelo sinal e módulo de
.
Passo 4
Cálculo dos limites laterais.
- Para
: tem-se e . Logo
- Para
: tem-se e . Logo
Esses resultados também podem ser vistos por análise de sinal: para
próximo de
o numerador é positivo (próximo de
), então o sinal da fração é o sinal de
.
Passo 5
Conclusão sobre o limite e existência de assíntota vertical.
- Como as duas limitantes laterais existem mas são diferentes (uma
e a outra ), o limite não existe no sentido finito. Dizemos que o limite diverge (tem comportamentos infinitos opostos). - Definição prática de assíntota vertical: a reta
é assíntota vertical de se pelo menos uma das limitações ou é infinita. Aqui, ambas são infinitas (com sinais opostos), portanto é uma assíntota vertical de . - Comportamento próximo de
: quando e quando .
Resposta
Assíntota vertical: