Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x-1)^{2}}{x}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Função dada: \displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{x}.
  • Pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x-1)^{2}}{x} e indicar as assíntotas verticais, quando existirem.
  • Observação importante: a função não está definida em x=0 (divisão por zero), então faz sentido estudar os limites laterais em torno de 0.

Passo 2

Primeiro vou simplificar e entender o comportamento do numerador quando x\to 0.
  • Expandindo o quadrado: (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1.
  • Como polinômios são funções contínuas, tem-se
\lim_{x\to 0}(x-1)^{2}= (0-1)^{2}=1.
Ou seja: o numerador tende para 1 quando x se aproxima de 0.

Passo 3

Rewrite a função para facilitar a análise dos sinais:
\frac{(x-1)^{2}}{x}=(x-1)^{2}\cdot\frac{1}{x}.
Como vimos, (x-1)^{2}\to1 quando x\to0. Então, perto de 0 o fator (x-1)^{2} é positivo e fica próximo de 1. O comportamento do quociente inteiro próximo de 0 será, portanto, determinado pelo sinal e módulo de \dfrac{1}{x}.

Passo 4

Cálculo dos limites laterais.
  • Para x\to 0^{+}: tem-se \dfrac{1}{x}\to +\infty e (x-1)^{2}\to1. Logo
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{(x-1)^{2}}{x} = 1\cdot(+\infty)=+\infty.
  • Para x\to 0^{-}: tem-se \dfrac{1}{x}\to -\infty e (x-1)^{2}\to1. Logo
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{(x-1)^{2}}{x} = 1\cdot(-\infty)=-\infty.
Esses resultados também podem ser vistos por análise de sinal: para x próximo de 0 o numerador é positivo (próximo de 1), então o sinal da fração é o sinal de 1/x.

Passo 5

Conclusão sobre o limite e existência de assíntota vertical.
  • Como as duas limitantes laterais existem mas são diferentes (uma +\infty e a outra -\infty), o limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x-1)^{2}}{x} não existe no sentido finito. Dizemos que o limite diverge (tem comportamentos infinitos opostos).
  • Definição prática de assíntota vertical: a reta x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limitações \lim_{x\to a^{+}} f(x) ou \lim_{x\to a^{-}} f(x) é infinita. Aqui, ambas são infinitas (com sinais opostos), portanto x=0 é uma assíntota vertical de f.
  • Comportamento próximo de 0: f(x)\to +\infty quando x\to 0^{+} e f(x)\to -\infty quando x\to 0^{-}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{(x-1)^{2}}{x}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}}\frac{(x-1)^{2}}{x}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x-1)^{2}}{x} não existe (diverge)
Assíntota vertical: x=0

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