Exercício 18. (G. ex. 3.12) Frequentemente se encontra em livros a notação de<a(x) para a distribuição delta de Dirac de<a0. Além disso, é comum encontrarmos em textos de física a notação de<a(x-a) para a distribuição de<aa, a in R. Isto é motivado pelo seguinte cálculo heurístico:
integral-infty^infty de<a(x-a) phi(x) d x=integral-infty^infty de<a(x) phi(x+a) d x=phi(a)
para phi in Cc^infty(R).
Motive por um cálculo similar a fórmula: de<a(x^2-a^2)=12 a(de<a(x-a)+de<a(x+a)), para a>0 (Dica: Podemos “calcular” (heuristicamente) a integral integral-infty^infty decompondo-a em duas: uma sobre ]-infty, 0] e outra sobre [0, infty[. Use mudança de variáveis)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, de forma heurística em termos de distribuições, que
de<al(x^2-a^2r)=12al(de<a(x-a)+de<a(x+a)r),
para a>0. Vamos usar a definição de delta de Dirac via ação em função teste phiin Cc^infty(R) e mudança de variável em cada parte do integral.

Passo 2

Começamos calculando
I=integral-infty^inftyde<al(x^2-a^2r),phi(x),dx
Para isso, separamos a integral em duas partes, uma em ,]-infty,0] e outra em [0,infty[:
I =integral-infty^0de<al(x^2-a^2r)phi(x),dx +integral0^inftyde<al(x^2-a^2r)phi(x),dx

Passo 3

Na parte positiva x>=0, fazemos a mudança de variável
t = x^2-a^2, dt = 2x,dx
Quando x percorre [0,infty[, t percorre [-a^2,infty[. Logo
integral0^inftyde<al(x^2-a^2r)phi(x),dx =integral-a^2^inftyde<a(t), phil(raizt+a^2r), dt2raizt+a^2
Como de<a(t) “seleciona” t=0, o valor de raizt+a^2 ali é raiza^2=a, e obtemos
integral0^inftyde<al(x^2-a^2r)phi(x),dx =phi(a)2a

Passo 4

Na parte negativa x<=0, fazemos a mesma mudança t=x^2-a^2, mas note que agora x=-raizt+a^2 e
dt=2x,dxLongrightarrow dx=dt2x =-dt2raizt+a^2
Assim
integral-infty^0de<al(x^2-a^2r)phi(x),dx =integral-a^2^inftyde<a(t), phil(-raizt+a^2r), l(-dt2raizt+a^2r)
Selecionando novamente t=0 e raiz0+a^2=a, isso dá
integral-infty^0de<al(x^2-a^2r)phi(x),dx =phi(-a)2a

Passo 5

Somando as duas partes, concluímos
I =phi(a)2a+phi(-a)2a =12al(phi(a)+phi(-a)r)
Mas a ação da distribuição tfrac12a(de<a(x-a)+de<a(x+a)) sobre phi é exatamente
12al(phi(a)+phi(-a)r)
Como duas distribuições que coincidem em todas as funções teste são iguais, segue a identidade desejada.

Resposta

boxedde<al(x^2-a^2r) =12al(de<a(x-a)+de<a(x+a)r)

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