Exercício 18. (G. ex. 3.12) Frequentemente se encontra em livros a notação
para a distribuição delta de Dirac
. Além disso, é comum encontrarmos em textos de física a notação
para a distribuição
. Isto é motivado pelo seguinte cálculo heurístico:
para
.
Motive por um cálculo similar a fórmula:
, para
(Dica: Podemos “calcular” (heuristicamente) a integral
decompondo-a em duas: uma sobre
e outra sobre
. Use mudança de variáveis)
Motive por um cálculo similar a fórmula:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, de forma heurística em termos de distribuições, que
para
. Vamos usar a definição de delta de Dirac via ação em função teste
e mudança de variável em cada parte do integral.
Passo 2
Começamos calculando
Para isso, separamos a integral em duas partes, uma em
e outra em
:
Passo 3
Na parte positiva
, fazemos a mudança de variável
Quando
percorre
,
percorre
. Logo
Como
“seleciona”
, o valor de
ali é
, e obtemos
Passo 4
Na parte negativa
, fazemos a mesma mudança
, mas note que agora
e
Assim
Selecionando novamente
e
, isso dá
Passo 5
Somando as duas partes, concluímos
Mas a ação da distribuição
sobre
é exatamente
Como duas distribuições que coincidem em todas as funções teste são iguais, segue a identidade desejada.