Proposição A.3.3 Seja
e sejam
. Então são válidas:
E relacionando as duas operações temos:
Distributividade
direita:
E relacionando as duas operações temos:
Distributividade
Passo 1
O enunciado pede para provar a distributividade à direita da multiplicação sobre a adição em
, ou seja,
onde
para
. Vamos usar apenas as definições de soma e produto de números complexos e então comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro calculamos a soma
Passo 3
Agora multiplicamos
pelo resultado da soma:
Passo 4
Usando a regra do produto de complexos,
com
, obtemos
Passo 5
Por outro lado, calculemos separadamente
Passo 6
Somando esses dois resultados em
, juntamos as partes reais e imaginárias:
Agrupando, isso é exatamente
que coincide com o que encontramos em
Resposta
Como os dois lados dão o mesmo número complexo, fica demonstrado que