Proposição A.3.3 Seja (C, odot) e sejam z1=a1+b1 i, z2=a2+b2 i, z3=a3+b3 i in C. Então são válidas:
E relacionando as duas operações temos:
Distributividade gravea direita: z1 odot(z2 oplus z3)=z1 odot z2 oplus z1 odot z3

Passo 1

O enunciado pede para provar a distributividade à direita da multiplicação sobre a adição em C, ou seja,
z1odotl(z2oplus z3r) ;=; z1odot z2;oplus;z1odot z3,
onde zj=aj+bj,i para j=1,2,3. Vamos usar apenas as definições de soma e produto de números complexos e então comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro calculamos a soma
z2oplus z3 =(a2+b2i);oplus;(a3+b3i) =(a2+a3)+(b2+b3),i

Passo 3

Agora multiplicamos z1 pelo resultado da soma:
z1odotl(z2oplus z3r) =(a1+b1i),odotl((a2+a3)+(b2+b3),ir)

Passo 4

Usando a regra do produto de complexos,
(x+yi),(u+vi) =(xu - yv);+;(xv + yu),i,
com x=a1,,y=b1,,u=a2+a3,,v=b2+b3, obtemos
z1odotl(z2oplus z3r) =l(a1(a2+a3)-b1(b2+b3)r) ;+;l(a1(b2+b3)+b1(a2+a3)r),i

Passo 5

Por outro lado, calculemos separadamente
z1odot z2 =(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2),i,
z1odot z3 =(a1a3-b1b3)+(a1b3+b1a3),i

Passo 6

Somando esses dois resultados em oplus, juntamos as partes reais e imaginárias:
z1odot z2;oplus;z1odot z3 =l(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3r) +l(a1b2+b1a2+a1b3+b1a3r),i
Agrupando, isso é exatamente
l(a1(a2+a3)-b1(b2+b3)r) +l(a1(b2+b3)+b1(a2+a3)r),i,
que coincide com o que encontramos em

Resposta

Como os dois lados dão o mesmo número complexo, fica demonstrado que
z1odotl(z2oplus z3r) = z1odot z2;oplus;z1odot z3

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