Proposição A.3.3 Seja (C, odot) e sejam z1=a1+b1 i, z2=a2+b2 i, z3=a3+b3 i in C. Então são válidas:
Comutatividade: z1 odot z2=z2 odot z1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a multiplicação odot em C é comutativa, ou seja, que para quaisquer z1,z2inC vale
z1odot z2=z2odot z1
O que vamos usar é a definição de multiplicação de números complexos e as propriedades comutativas da adição e da multiplicação em R.

Passo 2

Pela definição de odot, se
z1=a1+b1i, z2=a2+b2i,
então
z1odot z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2),i

Passo 3

Trocando os índices para calcular z2odot z1, obtemos
z2odot z1=(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1),i

Passo 4

Como na álgebra real temos
a1a2=a2a1, b1b2=b2b1, a1b2=b2a1, b1a2=a2b1,
segue que as partes real e imaginária de z1odot z2 e de z2odot z1 coincidem. Portanto
z1odot z2=z2odot z1

Resposta

A multiplicação de complexos é comutativa, ou seja,
z1odot z2=z2odot z1

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