Sejam
e
espaços vetoriais e
funções lineares. Se
é uma base do espaço
e
, conclua que
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais sobre um mesmo corpo, e que
são aplicações lineares. Temos também uma base
de
e a informação de que
Queremos concluir que
O que vamos usar é o fato de que qualquer vetor em
se expressa de modo único como combinação linear dos vetores de uma base, e a linearidade de
e
.
Passo 2
Seja
. Como
é base de
, existem escalares
tais que
Passo 3
Aplicando a linearidade de
em
, obtemos
Mas, como
para todo
, isso é
Passo 4
De forma análoga, usando a linearidade de
, temos
Comparando com o resultado obtido para
, concluímos
Resposta
Para todo
, vale
.