Sejam U e V espaços vetoriais e f: U V, g: U V funções lineares. Se alpha=u1, u2, ldots, un é uma base do espaço U e f(ui)=g(ui), forall i=1,2, ldots, n, conclua que f(v)=g(v), forall v in U.

Passo 1

O enunciado diz que U e V são espaços vetoriais sobre um mesmo corpo, e que f,g:Uto V são aplicações lineares. Temos também uma base alpha = u1,u2,dots,un de U e a informação de que
f(ui) = g(ui) para todo i=1,2,dots,n
Queremos concluir que
f(v) = g(v) para todo vin U
O que vamos usar é o fato de que qualquer vetor em U se expressa de modo único como combinação linear dos vetores de uma base, e a linearidade de f e g.

Passo 2

Seja vin U. Como u1,dots,un é base de U, existem escalares a1,a2,dots,an tais que
v = sumi=1^n ai,ui

Passo 3

Aplicando a linearidade de f em v, obtemos
f(v) = fl(sumi=1^n ai,uir) = sumi=1^n ai,f(ui)
Mas, como f(ui)=g(ui) para todo i, isso é
f(v) = sumi=1^n ai,g(ui)

Passo 4

De forma análoga, usando a linearidade de g, temos
g(v) = gl(sumi=1^n ai,uir) = sumi=1^n ai,g(ui)
Comparando com o resultado obtido para f(v), concluímos
f(v) = sumi=1^n ai,g(ui) = g(v)

Resposta

Para todo vin U, vale f(v)=g(v).

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