Exercício 19. (D.K. ex. 14.49) . (Transformada de Hilbert) A Transformada de Hilbert de é definida da seguinte maneira:
a) Mostre que e que .
b) Prove que e que .
c) Prove que .
Passo 1
O enunciado define a transformada de Hilbert em uma variável para por
e pede:
a) mostrar que e que ;
b) provar que e ;
c) calcular .
Para isso vamos usar que é distribuição temperada, as propriedades de convolução em e multiplicadores de Fourier.
Passo 2
Como e , vale , logo .
Pela propriedade da transformada de Fourier de convolução,
Sabe-se (por cálculo em contorno ou tabelas) que
Como , obtemos
Passo 3
Em a transformada de Fourier é isométrica e multiplicar por (que tem módulo ) preserva norma. Logo
Além disso, aplicando H duas vezes no domínio da transformada de Fourier multiplica por (-i,sign(xi))^2=-1, ou seja H^2=-I.
Passo 4
Para phi(x)=1/(1+x^2) usa-se o par de transformadas conhecido