Exercício 18 (D.L.2.15)
Decida para quais valores do parâmetro gamma in R o campo Agamma é atrator nos casos:
(ccgamma^2 & 1 0 & gamma).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de gammainR para os quais o sistema linear
dot x = Agamma,x, Agamma = gamma^2 & 1 [6pt] 0 & gamma
é assintoticamente estável (atraitor). Para isso, vamos usar o critério de estabilidade de Lyapunov linear: a origem é assintoticamente estável se, e somente se, todos os autovalores de Agammativerem parte real negativa.]

Passo 2

Como Agamma é triangular, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal. Logo,
lambda1 = gamma^2, lambda2 = gamma

Passo 3

Exigimos
Re(lambda1)<0 e Re(lambda2)<0
Mas lambda1=gamma^2>=0 para todo gammainR, sendo igual a zero apenas em gamma=0. Portanto nunca se satisfaz gamma^2<0.

Passo 4

Concluímos que não há nenhum valor real de gamma que torne ambos os autovalores estritamente negativos. Em particular, para gamma<0 um autovalor é positivo ( gamma^2>0), para gamma>0 idem, e em gamma=0 temos autovalor zero com bloco de Jordan não atraente.

Resposta

Não existe gammainR para o qual o campo Agamma seja atrator.

Exercícios relacionados