Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ;|x|+|y| <= 2 e 1<x^2+y^2

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)inR^2 mid |x|+|y|<=2 e x^2+y^2>1
e pede que a esbocemos, encontremos sua fronteira e classifiquemos se é aberta (A), fechada (F), limitada (L), compacta (K) ou conexa (C).

Passo 2

Para imaginar R, note que |x|+|y|<=2 é o losango (diamante) com vértices em
(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2), incluído todo o interior.
x^2+y^2>1 é o exterior do disco de raio 1 (o disco fechado é x^2+y^2<=1, e aqui removemos até a fronteira).
Logo R é a parte do losango que fica estritamente fora do círculo de raio 1.

Passo 3

A fronteira de R é o conjunto de pontos onde uma das desigualdades vira igualdade, desde que satisfaça a outra:
partialR =(x,y)mid |x|+|y|=2,;x^2+y^2>1 ;cup; (x,y)mid x^2+y^2=1,;|x|+|y|<=2

Passo 4

Verificamos se R é aberto ou fechado:
– O conjunto D1=,|x|+|y|<=2 é fechado.
– O conjunto D2=,x^2+y^2>1 é aberto.
R=D1cap D2 é interseção de fechado com aberto, em geral não é nem aberto nem fechado.
De fato:
  • Nos pontos do losango onde |x|+|y|=2 e x^2+y^2>1 não há entorno totalmente em R, logo não é aberto.
  • Nos pontos do círculo de raio 1 com |x|+|y|<=2 não estão em R, mas são limites de pontos da região, logo não é fechado.

Passo 5

Rsubset,|x|+|y|<=2 é contido num conjunto limitado, logo é limitado (L).

Passo 6

R é conexo (de facto é até arcoconexo): dado quaisquer dois pontos em R, podemos traçar um caminho contínuo que contorne o disco de raio 1 sem sair do losango.

Passo 7

Compacto (K) exige fechado e limitado. Como R não é fechado, não é compacto.

Resposta

Fronteira:
partialR =,|x|+|y|=2,;x^2+y^2>1 ;cup; ,x^2+y^2=1,;|x|+|y|<=2
Classificação:
bul<=t R não é aberto (A),
bul<=t não é fechado (F),
bul<=t é limitado (L),
bul<=t não é compacto (K),
bul<=t é conexo (C).

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