Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
e
1.1A
Passo 1
O enunciado define a região
e pede que a esbocemos, encontremos sua fronteira e classifiquemos se é aberta (A), fechada (F), limitada (L), compacta (K) ou conexa (C).
e pede que a esbocemos, encontremos sua fronteira e classifiquemos se é aberta (A), fechada (F), limitada (L), compacta (K) ou conexa (C).
Passo 2
Para imaginar
, note que
é o losango (diamante) com vértices em
, incluído todo o interior.
Já é o exterior do disco de raio
(o disco fechado é
, e aqui removemos até a fronteira).
Logo é a parte do losango que fica estritamente fora do círculo de raio
.
Já
Logo
Passo 3
A fronteira de
é o conjunto de pontos onde uma das desigualdades vira igualdade, desde que satisfaça a outra:
Passo 4
Verificamos se
é aberto ou fechado:
– O conjunto é fechado.
– O conjunto é aberto.
é interseção de fechado com aberto, em geral não é nem aberto nem fechado.
De fato:
– O conjunto
– O conjunto
De fato:
- Nos pontos do losango onde
e não há entorno totalmente em , logo não é aberto. - Nos pontos do círculo de raio
com não estão em , mas são limites de pontos da região, logo não é fechado.
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Compacto (K) exige fechado e limitado. Como
não é fechado, não é compacto.
Resposta
Fronteira:
Classificação:
não é aberto (A),
não é fechado (F),
é limitado (L),
não é compacto (K),
é conexo (C).