Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. Quando a função contém apenas uma variável esta equação é chamada de equação diferencial ordinário (EDO). Em cada item, verifique se a função y=f(x) é solução da EDO indicada.
y=a sen(x)+b cos (x) e y^prime prime+y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = a,sen(x) + b,cos(x)
é solução da equação diferencial ordinária
y'' + y = 0
Estamos no tópico de EDOs de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes. Para testar, vamos calcular y' e y'' e substituir na equação.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y:
y = a,sen(x) + b,cos(x)
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y' = a,cos(x) - b,sen(x),
y'' = -a,sen(x) - b,cos(x)

Passo 3

Substituindo na EDO y'' + y = 0:
y'' + y = l(-a,sen(x) - b,cos(x)r) + l(a,sen(x) + b,cos(x)r)
Ao agrupar termos iguais, obtemos
y'' + y = 0

Passo 4

Como a soma y''+y é identicamente zero para todo x, concluímos que a função dada satisfaz a EDO.

Resposta

Sim. A função y = a,sen(x) + b,cos(x) é solução da EDO y'' + y = 0.

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