Exercício 18 (D.L.2.15)
Decida para quais valores do parâmetro gamma in R o campo Agamma é atrator nos casos:
(cc3 & 0 gamma & -4).

Passo 1

O enunciado dá o campo linear associado à matriz
Agamma = 3 & 0 gamma & -4
e pede para quais gammainR o ponto de equilíbrio na origem é um atrator (isto é, assintoticamente estável). Para sistemas lineares x'=Agamma x, a condição de atrator é que todas as partes reais dos autovalores de Agamma sejam negativas.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de Agamma. Temos
p(lambda)=detl(Agamma - lambda Ir) =det3-lambda & 0 gamma & -4-lambda =(3-lambda)(-4-lambda)

Passo 3

As raízes de p(lambda) são dadas por
3-lambda=0Longrightarrow lambda1=3,
-4-lambda=0Longrightarrow lambda2=-4
Observe que elas não dependem de gamma.

Passo 4

Para que a origem seja atrator, precisamos de
Re(lambda1)<0 e Re(lambda2)<0
Como lambda1=3>0, já falha imediatamente a condição, independentemente de gamma.

Passo 5

Concluímos que não existe nenhum valor de gamma que torne ambos os autovalores com parte real negativa.

Resposta

Não existe gammainR para o qual Agamma seja atrator.

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