Exercício 18 (D.L.2.15)
Decida para quais valores do parâmetro gamma in R o campo Agamma é atrator nos casos:
(ccc0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 -1 & 0 & gamma).

Passo 1

O enunciado dá o campo linear
dotx = Agamma cdot x, Agamma = 0 & -1 & 0 [6pt] 1 & 0 & 0 [3pt] -1 & 0 & gamma,
e pede para quais gamma in R a origem é um atrator global (isto é, assintoticamente estável). Para isso vamos estudar os autovalores de Agamma e exigir que todos tenham parte real negativa.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de Agamma. Temos
det(Agamma - lambda I) = det -lambda & -1 & 0 1 & -lambda & 0 -1 & 0 & gamma - lambda
Expandindo em cofatores pela terceira coluna,
det(Agamma - lambda I) = (gamma - lambda) cdot det -lambda & -1 [3pt] 1 & -lambda = (gamma - lambda) (lambda^2 + 1) ]

Passo 3

Os autovalores são as raízes de (gamma-lambda)(lambda^2+1)=0. Logo
lambda1 = gamma, lambda2,3 = pm i

Passo 4

Para que a origem seja atratora (assintoticamente estável) precisamos que
Re(lambdaj)<0 para j=1,2,3
Porém já temos Re(pm i)=0, que não é negativo, independentemente de gamma. Portanto não é possível tornar todos os autovalores com parte real negativa.

Resposta

Não existe valor de gammainR que faça de Agamma um atrator.

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