Exercício 18. (Apostol, capítulo 7.15, exercícios 8, 9, 11 e 14) Resolva os sistemas Y^prime(t)=A Y(t) abaixo com as condições iniciais dadas:
A=(cc1 & 2 2 & -1), Y0=binomc1c2.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs
com
e condição inicial
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para diagonalizar .

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =(1-lambda)(-1-lambda)-2cdot2 =lambda^2-5=0
Logo os autovalores são
lambda1=raiz5 e lambda2=-raiz5.

Passo 3

Para lambda1=raiz5 resolvemos
(A-raiz5I)v=0 ;Longrightarrow; (1-raiz5)x+2y=0 ;Longrightarrow; y=tfracraiz5-12x
Tomando x=2, um autovetor é
v1=2raiz5-1
Para lambda2=-raiz5 temos
(1+raiz5)x+2y=0 ;Longrightarrow; y=-tfrac1+raiz52x,
e escolhendo x=2 obtemos
v2=2-(raiz5+1)

Passo 4

A solução geral do sistema é
Y(t)=alpha,e^raiz5,t,v1 +beta,e^-raiz5,t,v2,
com constantes alpha,beta a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Impondo
Resolvendo em (\alpha,\beta] dá

Passo 6

Substituindo em Y(t), uma forma explícita é
Y(t)=c1(raiz5+1)+2c24raiz5,e^raiz5t 2raiz5-1 +c1(raiz5-1)-2c24raiz5,e^-raiz5t 2-(raiz5+1)

Resposta

Y(t) =c1(raiz5+1)+2c24raiz5,e^raiz5t 2raiz5-1 +c1(raiz5-1)-2c24raiz5,e^-raiz5t 2-(raiz5+1)

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