Exercício 18. (Apostol, capítulo 7.15, exercícios 8, 9, 11 e 14) Resolva os sistemas
abaixo com as condições iniciais dadas:
.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear de EDOs
com
e condição inicial
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para diagonalizar
.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
Logo os autovalores são
lambda1=raiz5 e
lambda2=-raiz5 .
Passo 3
Para
lambda1=raiz5 resolvemos
Tomando
x=2 , um autovetor é
Para
lambda2=-raiz5 temos
e escolhendo
x=2 obtemos
Passo 4
A solução geral do sistema é
com constantes
alpha,beta a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Impondo
Resolvendo em (\alpha,\beta] dá
Passo 6
Substituindo em
Y(t) , uma forma explícita é