Verifique se a série
1+22+34+ldots+n2^n-1+ldots
é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^inftyn2^,n-1
verificando se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar o teste da razão para a convergência e, depois, recorrer a uma série de potências conhecida para obter a soma.

Passo 2

Seja
an = n2^,n-1
Aplicamos o teste da razão:
|an+1an| = ,n+12^n!n2^,n-1 = n+12n
Logo,
L = limntoinftyn+12n = 12 < 1,
portanto a série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Passo 3

Para encontrar a soma
S = sumn=1^inftyn2^,n-1,
note que a série de potências
sumn=1^inftyn x^,n-1
é dada por
1(1-x)^2,
válido para |x|<1. Basta escolher x=tfrac12. Assim,
S = sumn=1^inftynl(tfrac12r)^n-1 = 1l(1 - tfrac12r)^2 = 1(tfrac12)^2 = 4

Resposta

A série é convergente e sua soma é 4.

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