é convergente ou divergente. Caso seja convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
verificando se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar o teste da razão para a convergência e, depois, recorrer a uma série de potências conhecida para obter a soma.
Passo 2
Seja
Aplicamos o teste da razão:
Logo,
L = limntoinftyn+12n = 12 < 1,
portanto a série converge absolutamente e, consequentemente, converge.
Passo 3
Para encontrar a soma
S = sumn=1^inftyn2^,n-1,
note que a série de potências
sumn=1^inftyn x^,n-1
é dada por
1(1-x)^2,
válido para |x|<1. Basta escolher x=tfrac12. Assim,