Exercício 17. (Apostol, capítulo 7.12, exercício 7) Seja . Mostre que dd t e^A(t) é diferente de e^A(t) A^prime(t) e de A^prime(t) e^A(t).
Passo 1
O enunciado define
A(t)=1 & t 0 & 0
e pede para mostrar que ddte^A(t)
é diferente de e^A(t)A'(t)
e de A'(t)e^A(t).
O conteúdo é exponenciação de matrizes dependentes de parâmetro e as derivadas desta exponencial. Vamos usar a série de potências de A(t).
Passo 2
Primeiro notamos que
A(t)^2 =1 & t0 & 0 1 & t0 & 0 =1 & t0 & 0 =A(t)
Por indução segue que A(t)^n=A(t) para todo n>=1.
Assim a série de Taylor dá