Exercício 17. (Apostol, capítulo 7.12, exercício 7) Seja A(t)=(cc1 & t 0 & 0). Mostre que dd t e^A(t) é diferente de e^A(t) A^prime(t) e de A^prime(t) e^A(t).

Passo 1

O enunciado define
A(t)=1 & t 0 & 0
e pede para mostrar que
ddte^A(t)
é diferente de
e^A(t)A'(t)
e de
A'(t)e^A(t).
O conteúdo é exponenciação de matrizes dependentes de parâmetro e as derivadas desta exponencial. Vamos usar a série de potências de A(t).

Passo 2

Primeiro notamos que
A(t)^2 =1 & t0 & 0 1 & t0 & 0 =1 & t0 & 0 =A(t)
Por indução segue que A(t)^n=A(t) para todo n>=1.
Assim a série de Taylor dá
e^A(t) =I+sumn=1^inftyA(t)^nn! =I+l(sumn=1^infty1n!r),A(t) =I+(e-1),A(t)

Passo 3

Calculamos
A'(t)=ddtA(t) =0&10&0
Como
e^A(t)=I+(e-1)A(t),
derivar em t
ddte^A(t) =(e-1),A'(t)

Passo 4

Agora
e^A(t) =e & (e-1)t0 & 1, A'(t)=0 & 10 & 0,
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e^A(t)A'(t) =e & (e-1)t0 & 1 0 & 10 & 0 =0 & e0 & 0

Passo 5

De modo similar,
A'(t)e^A(t) =0 & 10 & 0 e & (e-1)t0 & 1 =0 & 10 & 0

Passo 6

Comparando
ddte^A(t)=(e-1)0&10&0, e^A(t)A'(t)=0&e0&0, A'(t)e^A(t)=0&10&0,
vemos que (e-1)neq e e (e-1)neq1. Portanto
ddte^A(t)neq e^A(t)A'(t)
e
ddte^A(t)neq A'(t)e^A(t).

Resposta

ddte^A(t)=(e-1)A'(t)neq e^A(t)A'(t) e ddte^A(t)neq A'(t)e^A(t)

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