Exercício 18. (Apostol, capítulo 7.15, exercícios 8, 9, 11 e 14) Resolva os sistemas
abaixo com as condições iniciais dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de EDO
com
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes, usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Calcule o polinômio característico de
A :
As raízes são
Passo 3
Escolha
lambda=1+3i e ache um autovetor
vneq0 tal que
(A-lambda I)v=0 .
da primeira linha vem
(-6-3i)v1+3v2=0 , logo
Tomando
v1=1 , escolhemos
Passo 4
A solução geral real de
Y'=AY vem
Passo 5
Imponha
Y(0)=[1,1]^T . Como
cos0=1 e
sin0=0 , temos
Daí
C1=1 e
2cdot1+C2=1 dá
C2=-1 .
Passo 6
Substituindo em
Y(t) e coletando, obtemos
Como
Re v=12 e
Im v=01 , resulta