Exercício 18. (Apostol, capítulo 7.15, exercícios 8, 9, 11 e 14) Resolva os sistemas Y^prime(t)=A Y(t) abaixo com as condições iniciais dadas:
A=(cc-5 & 3 -15 & 7), Y0=binom11.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDO
Y'(t)=A,Y(t)
com
A=-5 & 3 -15 & 7, Y(0)=11
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes, usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Calcule o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det-5-lambda & 3 -15 & 7-lambda =(-5-lambda)(7-lambda)+45 =lambda^2-2lambda+10
As raízes são
lambda=1pm3i

Passo 3

Escolha lambda=1+3i e ache um autovetor vneq0 tal que (A-lambda I)v=0.
(A-(1+3i)I) =-6-3i & 3 -15 & 6-3i,
da primeira linha vem (-6-3i)v1+3v2=0, logo
v2=(2+i)v1
Tomando v1=1, escolhemos
v=12+i =underbrace12Re v +iunderbrace01Im v

Passo 4

A solução geral real de Y'=AY vem
Y(t) =e^t[ C1(Re vcos3t-Im vsin3t) + C2(Re vsin3t+Im vcos3t) ]

Passo 5

Imponha Y(0)=[1,1]^T. Como cos0=1 e sin0=0, temos
Y(0) =C1,Re v + C2,Im v =C112 + C201 =C12C1+C2 =11
Daí C1=1 e 2cdot1+C2=1 C2=-1.

Passo 6

Substituindo em Y(t) e coletando, obtemos
Y(t) =e^t[ Re v(cos3t-sin3t) -Im v(sin3t+cos3t) ]
Como Re v=12 e Im v=01, resulta
Y(t) =e^t ;1cdot(cos3t-sin3t)-0cdot(sin3t+cos3t) 2(cos3t-sin3t)-1cdot(sin3t+cos3t) =e^t cos3t-sin3t cos3t-3sin3t

Resposta

Y(t) =e^t cos3t-sin3t cos3t-3sin3t

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