Determine o intervalo de convergência das séries:
sumn=1^infty (-1)^n+1raiz[3]n 2^n(x-1)^n.

Passo 1

Resumindo: temos a série de potências centrada em x=1
sumn=1^infty an,(x-1)^n, an = (-1)^n+1n^1/3,2^n
O conteúdo aqui é estudar convergência de série de potências usando o critério da razão para determinar o raio e, em seguida, testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão. Primeiro escrevemos
|an+1(x-1)^n+1an(x-1)^n| =|an+1an|cdot|x-1|
Agora
|an+1an| =1(n+1)^1/32^,n+11n^1/32^n =n^1/3(n+1)^1/3cdot12 ;xrightarrow[ntoinfty];12
Logo o limite da razão é
limntoinfty|an+1(x-1)^n+1an(x-1)^n| =12,|x-1|
Para convergência absoluta precisamos de tfrac12,|x-1|<1, ou seja |x-1|<2.

Passo 3

Do critério da razão segue que o raio de convergência é
R=2,
e o intervalo de convergência absoluta é
1-2<x<1+2 Longrightarrow -1<x<3

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=3 temos x-1=2 e a série vira
sumn=1^infty (-1)^n+1n^1/32^n,2^n =sumn=1^infty (-1)^n+1n^1/3
que é alternante com termos tfrac1n^1/3 que vão a zero e decrescem em módulo, portanto converge condicionalmente por Leibniz.
Para x=-1 temos x-1=-2 e a série vira
sumn=1^infty (-1)^n+1n^1/32^n,(-2)^n =-sumn=1^infty 1n^1/3,
que diverge pois é p-série com p=tfrac13<1.

Resposta

(-1,3]

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