Exercício 18. (Apostol, capítulo 8.17, exercício 3) a) Ache um vetor V(x, y, z) in R^3 normal a superfície num ponto diferente de ( 0,0,0 )
z=raizx^2+y^2+(x^2+y^2)^32
b) Ache o cosseno do ângulo entre o eixo z e o vetor V(x, y, z) e calcule o limite quando (x, y, z) (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede dois objetivos principais sobre a superfície
z = raizx^2+y^2 + l(x^2+y^2r)^tfrac32
em um ponto diferente de (0,0,0):
(a) encontrar um vetor normal;
(b) calcular o cosseno do ângulo entre esse vetor e o eixo z e seu limite quando (x,y,z)to(0,0,0).
Vamos tratar a superfície como gráfico de
f(x,y)=r + r^3,onde r=raizx^2+y^2,
e usar que uma normal é dada por l(-fx,-fy,1r).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Com r=raizx^2+y^2 temos
partial rpartial x=xr e
partial rpartial y=yr.
Logo,
fx=partialpartial xl(r+r^3r) =(1+3r^2),xr, fy=(1+3r^2),yr

Passo 3

Um vetor normal ao gráfico é
V(x,y,z)=l(-fx,,-fy,,1r) =l(-(1+3r^2)xr,,-(1+3r^2)yr,,1r)
Para simplificar cálculos, note que qualquer múltiplo de V serve. Multiplicando tudo por rneq0, obtemos
widetilde V(x,y,z) =r,V =l(-(1+3r^2),x,;-(1+3r^2),y,;rr)

Passo 4

O cosseno do ângulo theta entre widetilde V e o eixo z (direção k=(0,0,1)) é
costheta =widetilde Vcdot k|widetilde V|;|k| =rraizl((1+3r^2)^2(x^2+y^2)r)+r^2 =rraiz(1+3r^2)^2r^2+r^2 =1raiz(1+3r^2)^2+1

Passo 5

Para (x,y,z)to(0,0,0) temos r=raizx^2+y^2to0. Assim
lim(x,y,z)to(0,0,0)costheta =1raiz(1+3cdot0)^2+1 =1raiz2

Resposta

a) Podemos tomar, por exemplo,
V(x,y,z)=l(-(1+3r^2)x,,-(1+3r^2)y,,rr), r=raizx^2+y^2,
que é normal em todo ponto com rneq0.
b)
costheta=1raiz(1+3r^2)^2+1,
e
lim(x,y,z)to(0,0,0)costheta=1raiz2

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