Exercício 18. (Apostol, capítulo 8.17, exercício 3) a) Ache um vetor
normal a superfície num ponto diferente de (
)
b) Ache o cosseno do ângulo entre o eixo
e o vetor
e calcule o limite quando
.
Passo 1
O enunciado pede dois objetivos principais sobre a superfície
em um ponto diferente de
:
(a) encontrar um vetor normal;
(b) calcular o cosseno do ângulo entre esse vetor e o eixo e seu limite quando
.
Vamos tratar a superfície como gráfico de
(a) encontrar um vetor normal;
(b) calcular o cosseno do ângulo entre esse vetor e o eixo
Vamos tratar a superfície como gráfico de
e usar que uma normal é dada por
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Com
temos
e
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Um vetor normal ao gráfico é
Para simplificar cálculos, note que qualquer múltiplo de
serve. Multiplicando tudo por
, obtemos
Passo 4
O cosseno do ângulo
entre
e o eixo
(direção
) é
Passo 5
Para
temos
. Assim
Resposta
a) Podemos tomar, por exemplo,
que é normal em todo ponto com
.
b)
b)
e