Exercício 19. (Apostol, capítulo 8.22, exercícios 3, 8 e 10)
Seja
e
. Logo, se
, então calcule
e
em função de
e
. Mostre que
Seja
Passo 1
O enunciado define a função composta
onde
,
e
.
O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Para resolver, vamos usar que, ao derivar em relação a
ou
, as variáveis
e
também dependem de
, exigindo produto e composição de derivadas parciais.
O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Para resolver, vamos usar que, ao derivar
Passo 2
Calculamos
aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
De modo análogo, para
temos
Passo 4
Agora, para
, derivamos
novamente em relação a . Aqui escrevemos
,
, e
, etc. Usamos produto e regra da cadeia para
e
, que também dependem de
via
,
.
novamente em relação a
Passo 5
Ao derivar, obtemos
onde
,
e
.
Agrupando termos semelhantes, resulta
Agrupando termos semelhantes, resulta