Exercício 19. (Apostol, capítulo 8.22, exercícios 3, 8 e 10)
Seja u=f(x, y), x=X(s, t) e y=Y(s, t). Logo, se F(s, t)=f(X(s, t), Y(s, t)), então calcule partial Fpartial t e partial Fpartial s em função de partial fpartial x, partial fpartial y, partial Xpartial t, partial Xpartial s, partial Ypartial t e partial Ypartial s. Mostre que
partial^2 Fpartial s^2=partial fpartial x partial^2 Xpartial s^2+(partial fpartial x)^2(partial Xpartial s)^2+2 partial^2 fpartial x partial y partial Xpartial s partial Ypartial s+partial fpartial y partial^2 Ypartial s^2+(partial fpartial y)^2(partial Ypartial s)^2

Passo 1

O enunciado define a função composta
F(s,t)=fl(X(s,t),,Y(s,t)r),
onde u=f(x,y), x=X(s,t) e y=Y(s,t).
O conteúdo é a aplicação da regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Para resolver, vamos usar que, ao derivar f(x,y) em relação a s ou t, as variáveis x e y também dependem de s,t, exigindo produto e composição de derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos partial F/partial s aplicando a regra da cadeia:
partial Fpartial s =partial fpartial x,partial Xpartial s +partial fpartial y,partial Ypartial s

Passo 3

De modo análogo, para partial F/partial t temos
partial Fpartial t =partial fpartial x,partial Xpartial t +partial fpartial y,partial Ypartial t

Passo 4

Agora, para partial^2F/partial s^2, derivamos
partial F/partial s = fx Xs + fy Ys
novamente em relação a s. Aqui escrevemos fx=partial fpartial x, fy=partial fpartial y, e Xs=partial Xpartial s, etc. Usamos produto e regra da cadeia para fx e fy, que também dependem de s via x=X(s,t), y=Y(s,t).

Passo 5

Ao derivar, obtemos
partial^2Fpartial s^2 =l(fxxXs + fxyYsr)Xs +fx Xss +l(fxyXs + fyyYsr)Ys +fy Yss,
onde fxx=partial^2fpartial x^2, fxy=partial^2fpartial xpartial y e fyy=partial^2fpartial y^2.
Agrupando termos semelhantes, resulta
partial^2Fpartial s^2 =fx,Xss +fy,Yss +fxx,(Xs)^2 +2,fxy,Xs,Ys +fyy,(Ys)^2

Resposta

partial Fpartial s =partial fpartial x,partial Xpartial s +partial fpartial y,partial Ypartial s,
partial Fpartial t =partial fpartial x,partial Xpartial t +partial fpartial y,partial Ypartial t,
partial^2 Fpartial s^2 =partial fpartial x,partial^2 Xpartial s^2 +partial fpartial y,partial^2 Ypartial s^2 +partial^2 fpartial x^2l(partial Xpartial sr)^2 +2,partial^2 fpartial xpartial y,partial Xpartial s,partial Ypartial s +partial^2 fpartial y^2l(partial Ypartial sr)^2

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