a) A função f: R R com regra f(x)=|x| é invertível?
b) O que acontece se considerarmos o domínio como sendo [0, infty) R ? Qual será a inversa de f (domínio e regra)?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a invertibilidade da função
fcolon RtoR, f(x)=|x|
e, em seguida, o que ocorre se restringirmos o domínio a [0,infty). O conteúdo é definição de função inversa: f é invertível se e somente se for bijetora (injectiva e sobrejetiva).

Passo 2

Verificamos injetividade em R. Note que
f(1)=|1|=1 e f(-1)=|-1|=1,
mas 1neq -1. Logo f(1)=f(-1) com argumentos distintos, isto é, f não é injectiva em R. Como não é injectiva, também não há bijeção, e portanto não existe inversa em todo R.

Passo 3

Agora restringimos o domínio a [0,infty). Sobre injetividade, se x1,x2>=0 e |x1|=|x2|, então x1=x2. Logo
fcolon [0,infty)toR
é injectiva. Porém, seu conjunto imagem é [0,infty), não todo R. Para obter bijeção, convém também restringir o contradomínio a [0,infty). Assim fazemos
fcolon [0,infty)to[0,infty), f(x)=x

Passo 4

Nessa nova função fcolon [0,infty)to[0,infty), temos injetividade (já vista) e sobrejetividade trivial (cada y>=0 tem pré-imagem x=y). Logo f é bijetora e admite inversa.

Passo 5

A inversa f^-1 deve trocar as variáveis de f. Como f(x)=x em [0,infty), temos
f^-1colon [0,infty)to[0,infty), f^-1(y)=y

Resposta

a) Em RtoR, f(x)=|x| não é invertível (não é injectiva).
b) Se restringirmos a fcolon [0,infty)to[0,infty), então f é bijetora e
f^-1(y)=y, yin[0,infty)

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