a) A função
com regra
é invertível?
b) O que acontece se considerarmos o domínio como sendo
? Qual será a inversa de
(domínio e regra)?
b) O que acontece se considerarmos o domínio como sendo
Passo 1
O enunciado pede para analisar a invertibilidade da função
e, em seguida, o que ocorre se restringirmos o domínio a
. O conteúdo é definição de função inversa:
é invertível se e somente se for bijetora (injectiva e sobrejetiva).
Passo 2
Verificamos injetividade em
. Note que
mas
. Logo
com argumentos distintos, isto é,
não é injectiva em
. Como não é injectiva, também não há bijeção, e portanto não existe inversa em todo
.
Passo 3
Agora restringimos o domínio a
. Sobre injetividade, se
e
, então
. Logo
é injectiva. Porém, seu conjunto imagem é
, não todo
. Para obter bijeção, convém também restringir o contradomínio a
. Assim fazemos
Passo 4
Nessa nova função
, temos injetividade (já vista) e sobrejetividade trivial (cada
tem pré-imagem
). Logo
é bijetora e admite inversa.
Passo 5
A inversa
deve trocar as variáveis de
. Como
em
, temos
Resposta
a) Em
,
não é invertível (não é injectiva).
b) Se restringirmos a , então
é bijetora e
b) Se restringirmos a