Esboce o gráfico das funções:
f(x)=x^4-2 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^4-2x^2+1
O conteúdo envolve análise de funções: fatoração, cálculo de derivadas para extremos e concavidade, além do comportamento assintótico para xtopminfty.

Passo 2

Fatoramos f em termos de x^2:
f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2
Isso já mostra que f(x)>=0 para todo x e que os zeros ocorrem em
x^2-1=0Longrightarrow x=pm1,
sendo ambos zeros de multiplicidade dupla (raízes “achatadas”).

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para encontrar pontos críticos:
f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)
Logo, os pontos críticos são
x=-1, x=0, x=1

Passo 4

Para classificar esses pontos, usamos a derivada segunda:
f''(x)=12x^2-4
Avaliações:
  • Em x=pm1, f''(pm1)=12-4=8>0, logo mínimos locais.
  • Em x=0, f''(0)=-4<0, logo máximo local.
    Os valores de f nesses pontos são
f(pm1)=0, f(0)=1

Passo 5

O comportamento para xtopminfty é dominado por x^4, portanto
limxtopminftyf(x)=+infty

Passo 6

Resumo das características principais:
  • Simetria par em relação ao eixo y.
  • Máximo local em (0,1).
  • Mínimos globais em (1,0) e (-1,0).
  • Curva em “W” achatado, tocando o eixo x em x=pm1 e subindo para +infty nas extremidades.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^4-2x^2+1 é uma curva simétrica em “W”, com máximo local em (0,1), mínimos em (pm1,0) e subida para +infty quando xtopminfty.

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