Problema 74 Construa os gráficos das funções:
y=x^3

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
y = x^3
Conteúdo: análise de polinômios de grau 3. Para esboçar o gráfico vamos usar intercepto, paridade (simetria), derivada primeira (monotonicidade), derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão) e alguns pontos-chave.

Passo 2

Intercepto com os eixos e simetria:
– Quando x=0, temos y=0^3=0, logo o gráfico passa pela origem (0,0).
– A função é ímpar (pois (-x)^3 = -,x^3), então o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Monotonicidade pela derivada primeira:
y' = ddx(x^3) = 3x^2 >= 0forall x,
com igualdade apenas em x=0. Isso mostra que a função é estritamente crescente em todo R.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão pela derivada segunda:
y'' = ddx(3x^2) = 6x
– Para x<0, y''<0: concavidade para baixo.
– Para x>0, y''>0: concavidade para cima.
Em x=0 muda de concavidade, logo há ponto de inflexão em (0,0).

Passo 5

Cálculo de pontos adicionais para guiar o esboço:
(-2,,-8), (-1,,-1), (0,0), (1,1), (2,8)

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Passa pelos pontos acima.
– Monótona crescente: nunca decresce.
– Concava para baixo antes da origem e para cima depois.
– Simétrica pela origem.
O formato geral é uma curva que desce até -infty em xto -infty, passa por (0,0) com inflexão e sobe até +infty em xto +infty.

Resposta

O gráfico de y=x^3 é uma curva cúbica ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão na origem, passando pelos pontos (-2,-8), (-1,-1), (0,0), (1,1) e (2,8), conforme descrito acima.

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