Problema 74 Construa os gráficos das funções:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
Conteúdo: análise de polinômios de grau 3. Para esboçar o gráfico vamos usar intercepto, paridade (simetria), derivada primeira (monotonicidade), derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão) e alguns pontos-chave.
Passo 2
Intercepto com os eixos e simetria:
– Quando , temos
, logo o gráfico passa pela origem
.
– A função é ímpar (pois ), então o gráfico é simétrico em relação à origem.
– Quando
– A função é ímpar (pois
Passo 3
Monotonicidade pela derivada primeira:
com igualdade apenas em
. Isso mostra que a função é estritamente crescente em todo
.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão pela derivada segunda:
– Para
,
: concavidade para baixo.
– Para ,
: concavidade para cima.
Em muda de concavidade, logo há ponto de inflexão em
.
– Para
Em
Passo 5
Cálculo de pontos adicionais para guiar o esboço:
Passo 6
Esboço do gráfico:
– Passa pelos pontos acima.
– Monótona crescente: nunca decresce.
– Concava para baixo antes da origem e para cima depois.
– Simétrica pela origem.
– Passa pelos pontos acima.
– Monótona crescente: nunca decresce.
– Concava para baixo antes da origem e para cima depois.
– Simétrica pela origem.
O formato geral é uma curva que desce até
em
, passa por
com inflexão e sobe até
em
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva cúbica ímpar, estritamente crescente, com ponto de inflexão na origem, passando pelos pontos
,
,
,
e
, conforme descrito acima.