Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é uma variável aleatória (discreta ou contínua) e
é constante, então
O conteúdo principal é a definição de esperança matemática e a propriedade de linearidade (homogeneidade) da soma e da integral.
Passo 2
Caso discreto. Suponha que
tome valores em um conjunto contável
com probabilidades
. Por definição,
Como
é constante, podemos fatorá-lo para fora da soma:
Passo 3
Caso contínuo. Suponha que
tenha função densidade
. Por definição,
De novo,
é constante e sai da integral:
Resposta
Concluímos que, para distribuições discretas ou contínuas,