Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
E(c X)=c E(X)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se X é uma variável aleatória (discreta ou contínua) e c é constante, então
E(cX)=c,E(X)
O conteúdo principal é a definição de esperança matemática e a propriedade de linearidade (homogeneidade) da soma e da integral.

Passo 2

Caso discreto. Suponha que X tome valores em um conjunto contável xi com probabilidades pi=P(X=xi). Por definição,
E(cX) =sumi l(c,xir),pi
Como c é constante, podemos fatorá-lo para fora da soma:
E(cX) =csumi xi,pi =c,E(X)

Passo 3

Caso contínuo. Suponha que X tenha função densidade fX(x). Por definição,
E(cX) =integral-infty^infty l(c,xr),fX(x),dx
De novo, c é constante e sai da integral:
E(cX) =cintegral-infty^infty x,fX(x),dx =c,E(X)

Resposta

Concluímos que, para distribuições discretas ou contínuas,
E(cX)=c,E(X)

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