Obtenha o valor numérico da derivada de décima quarta ordem da função
f(x)=417 x^11+4 x^9+8 x^7+15 x^6+16 x^5+23 x^4+42 em x=raizpi

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem catorze da função
f(x)=417,x^11+4,x^9+8,x^7+15,x^6+16,x^5+23,x^4+42
avaliada em x=raizpi. O conteúdo aqui é o cálculo de derivadas de monômios e a propriedade de que, ao derivar um polinômio de grau n mais de n vezes, o resultado é zero.

Passo 2

Lembramos que, para um monômio ,x^n, a derivada de ordem k é dada por
d^kdx^kl(x^nr)= n(n-1)cdots(n-k+1),x^,n-k,&se k<= n, 0,&se k>n

Passo 3

Na nossa f(x), todos os termos são monômios de grau no máximo 11. Como estamos buscando a derivada de ordem 14, isto é, k=14>11, cada termo monomial satisfaz k>n, de modo que sua 14ª derivada é zero.

Passo 4

Portanto, a 14ª derivada de f é a soma de zeros e, assim,
f^(14)(x)=0
para todo x.

Resposta

0

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