Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Var(c X)=c^2 Var(X)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer variável aleatória X (contínua ou discreta) e qualquer constante real c, vale
Var(cX) ;=; c^2,Var(X)
O conteúdo utilizado será a definição de variância, isto é,
Var(Y)=El[(Y - E[Y])^2r],
e a propriedade linear da expectativa.

Passo 2

Calculemos primeiro a esperança de cX. Pela linearidade da esperança, temos
E[cX] ;=; c,E[X]

Passo 3

Agora aplicamos a definição de variância à variável cX:
Var(cX) ;=; El[l(cX - E[cX]r)^2r]

Passo 4

Substituindo E[cX]=c,E[X] dentro do colchete, obtemos
cX - E[cX] ;=; cX - c,E[X] ;=; cl(X - E[X]r)
Portanto,
l(cX - E[cX]r)^2 ;=; l(c,(X - E[X])r)^2 ;=; c^2,(X - E[X])^2

Passo 5

Tomando expectativa de ambos os lados,
Var(cX) = El[c^2,(X - E[X])^2r] = c^2,El[(X - E[X])^2r] = c^2,Var(X)

Resposta

Var(cX)=c^2,Var(X)

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