Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer variável aleatória
(contínua ou discreta) e qualquer constante real
, vale
O conteúdo utilizado será a definição de variância, isto é,
e a propriedade linear da expectativa.
Passo 2
Calculemos primeiro a esperança de
. Pela linearidade da esperança, temos
Passo 3
Agora aplicamos a definição de variância à variável
:
Passo 4
Substituindo
dentro do colchete, obtemos
Portanto,
Passo 5
Tomando expectativa de ambos os lados,