Exercício 20 Considere \vec{F}: \Omega \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por \vec{F}(x, y)=e^{2 y} \vec{i}+\left(1+2 x e^{2 y}\right) \vec{j} e \Omega= \{(x, y) / x \in \mathbb{R} e y>0\}.
a) Justifique que \Omega é simplesmente conexo e que \vec{F}(x, y) é conservativo em \Omega.
b) Determine a função potencial de \vec{F} e calcule a integral de linha de \vec{F} sobre a curva, \gamma, de classe C^{1} por partes, de extremos (1,1) e (0,2).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede o que segue.
  • Campo vetorial: \vec{F}:\Omega\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
\vec{F}(x,y)=e^{2y}\,\vec{i}+\bigl(1+2x e^{2y}\bigr)\,\vec{j}.
  • Domínio: \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>0\} (meia-plano superior, aberto).
  • Perguntas:
    (a) Justificar que \Omega é simplesmente conexo e que \vec{F} é conservativo em \Omega.
    (b) Determinar uma função potencial de \vec{F} e calcular a integral de linha de \vec{F} sobre uma curva \gamma de classe C^1 por partes que tem extremos (1,1) e (0,2).

Passo 2

Justificar que \Omega é simplesmente conexo.
  • Definição (intuição útil): uma região é simplesmente conexa se é conectada por caminhos e qualquer laço fechado na região pode ser contínua e completamente deformado (contraído) a um ponto sem sair da região.
  • Observação concreta: \Omega=\{y>0\} é convexa porque, dados dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) com y_1>0 e y_2>0, o segmento entre eles tem coordenada y(t)=(1-t)y_1+ty_2 que é estritamente positiva para t\in[0,1]. Região convexa implica que qualquer laço pode ser contraído sem sair da região.
  • Conclusão: portanto \Omega é simplesmente conexo.

Passo 3

Critério para conservatividade em \mathbb{R}^2 e aplicação ao campo dado.
  • Teorema prático (caso 2D): se \Omega é aberto e simplesmente conexo e \vec{F}=(P,Q) tem derivadas parciais contínuas em \Omega, então \vec{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\quad\text{em }\Omega.
(Isto é a condição de rotação/curl nula em 2D.)
  • Identificação das componentes: P(x,y)=e^{2y} e Q(x,y)=1+2x e^{2y}.
  • Calcular derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}e^{2y}=2e^{2y}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1+2x e^{2y}\bigr)=2e^{2y}.
  • Como \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y} em todo \Omega e as derivadas são contínuas, pela condição acima \vec{F} é conservativo em \Omega.

Passo 4

Como encontrar uma função potencial \varphi (explicação do método).
  • Definição prática: um potencial \varphi(x,y) satisfaz \nabla\varphi=\vec{F}, ou seja
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=e^{2y}, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=1+2x e^{2y}.
  • Método: integrar a primeira igualdade em relação a x, tratando y como constante, e depois ajustar com função de y (constante de integração dependente de y).

Passo 5

Integração para obter \varphi.
  • Integrar \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=e^{2y} em x:
\varphi(x,y)=\int e^{2y}\,dx = x e^{2y} + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar (porque ao derivar em x essa função some).
  • Agora impôr a segunda igualdade. Calcular \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^{2y}+g(y)\bigr)=2x e^{2y}+g'(y).
  • Igualar a Q(x,y)=1+2x e^{2y}:
2x e^{2y}+g'(y)=1+2x e^{2y}\quad\Rightarrow\quad g'(y)=1.
  • Integrando g'(y)=1 obtemos g(y)=y+C, com C constante real.
  • Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=x e^{2y}+y+C.
Podemos escolher C=0 para simplicidade, pois potenciais diferem por constante.

Passo 6

Cálculo da integral de linha usando o potencial (teorema fundamental para gradientes).
  • Teorema (prático): se \vec{F}=\nabla\varphi em uma região que contém a curva \gamma e \gamma vai de A a B, então
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
Não importa o caminho, só os extremos.
  • Aqui os extremos são A=(1,1) e B=(0,2). Usando \varphi(x,y)=x e^{2y}+y (tomando C=0):
\varphi(0,2)=0\cdot e^{4}+2=2, \qquad \varphi(1,1)=1\cdot e^{2}+1=e^{2}+1.
  • Portanto a integral de linha é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(0,2)-\varphi(1,1)=2-(e^{2}+1)=1-e^{2}.

Resposta

(a) \Omega é simplesmente conexo e \vec{F} é conservativo em \Omega.
(b) Potencial \varphi(x,y)=x e^{2y}+y+C. Integral de linha \displaystyle\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=1-e^{2}.

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