Exercício 20 Considere
definido por
e
e
.
a) Justifique que
é simplesmente conexo e que
é conservativo em
.
b) Determine a função potencial de
e calcule a integral de linha de
sobre a curva,
, de classe
por partes, de extremos
e
.
a) Justifique que
b) Determine a função potencial de
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede o que segue.
- Campo vetorial:
definido por
- Domínio:
(meia-plano superior, aberto). - Perguntas:
(a) Justificar queé simplesmente conexo e que é conservativo em .
(b) Determinar uma função potencial dee calcular a integral de linha de sobre uma curva de classe por partes que tem extremos e .
Passo 2
Justificar que
é simplesmente conexo.
- Definição (intuição útil): uma região é simplesmente conexa se é conectada por caminhos e qualquer laço fechado na região pode ser contínua e completamente deformado (contraído) a um ponto sem sair da região.
- Observação concreta:
é convexa porque, dados dois pontos e com e , o segmento entre eles tem coordenada que é estritamente positiva para . Região convexa implica que qualquer laço pode ser contraído sem sair da região. - Conclusão: portanto
é simplesmente conexo.
Passo 3
Critério para conservatividade em
e aplicação ao campo dado.
- Teorema prático (caso 2D): se
é aberto e simplesmente conexo e tem derivadas parciais contínuas em , então é conservativo se, e somente se,
(Isto é a condição de rotação/curl nula em 2D.)
- Identificação das componentes:
e . - Calcular derivadas parciais:
- Como
em todo e as derivadas são contínuas, pela condição acima é conservativo em .
Passo 4
Como encontrar uma função potencial
(explicação do método).
- Definição prática: um potencial
satisfaz , ou seja
- Método: integrar a primeira igualdade em relação a
, tratando como constante, e depois ajustar com função de (constante de integração dependente de ).
Passo 5
Integração para obter
.
- Integrar
em :
onde
é uma função a determinar (porque ao derivar em
essa função some).
- Agora impôr a segunda igualdade. Calcular
a partir da expressão obtida:
- Igualar a
:
- Integrando
obtemos , com constante real. - Portanto uma função potencial é
Podemos escolher
para simplicidade, pois potenciais diferem por constante.
Passo 6
Cálculo da integral de linha usando o potencial (teorema fundamental para gradientes).
- Teorema (prático): se
em uma região que contém a curva e vai de a , então
Não importa o caminho, só os extremos.
- Aqui os extremos são
e . Usando (tomando ):
- Portanto a integral de linha é
Resposta
(a)
é simplesmente conexo e
é conservativo em
.
(b) Potencial . Integral de linha
.
(b) Potencial