Exercício 18. Calcule:
integral|z|=2 1z^2-1 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral|z|=21z^2-1,dz
usando o Teorema dos Resíduos. Vamos precisar identificar os polos de 1z^2-1 e ver quais estão dentro do círculo |z|=2, depois calcular os resíduos nesses polos e aplicar a fórmula do Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Encontramos os pontos singulares resolvendo z^2-1=0, o que dá
z=pm1
Como |1|=1<2 e |-1|=1<2, ambos os polos simples z=1 e z=-1 estão dentro da curva |z|=2.

Passo 3

Para um polo simples em , o resíduo de é
Aplicando em :
Em :

Passo 4

O Teorema dos Resíduos diz que
Somando os resíduos:
logo a integral é

Resposta

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