Exercício 18. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
na matéria de funções de variável complexa, usando Cauchy e análise de ramos de função multivalorada. Vamos verificar onde a função
tem pontos singulares ou cortes de ramo para saber se ela é analítica no disco
.
Passo 2
As soluções de
são
. São pontos de ramo de
. No ramo principal de
o corte em
fica no semieixo real negativo. Em
isso corresponde aos valores de
tais que
, ou seja
. Note que todo esse corte em
fica fora do círculo
.
Passo 3
Como o contorno
e seu interior não tocam nem contêm os pontos de ramo nem os cortes de
, a função é analítica em todo o disco fechado
. Pelo Teorema de Cauchy para funções analíticas, a integral em torno de qualquer contorno fechado nesse domínio vale zero: