Exercício 18. Calcule:
integral|z|=1 raiz9-z^2 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
integral|z|=1 raiz9 - z^2,dz
na matéria de funções de variável complexa, usando Cauchy e análise de ramos de função multivalorada. Vamos verificar onde a função
raiz9 - z^2 tem pontos singulares ou cortes de ramo para saber se ela é analítica no disco |z|<=1.

Passo 2

As soluções de 9 - z^2 = 0 são z = pm 3. São pontos de ramo de raiz9 - z^2. No ramo principal de raiz w o corte em w fica no semieixo real negativo. Em w=9-z^2 isso corresponde aos valores de z tais que 9 - z^2in(-infty,0], ou seja zin(-infty,-3]cup[3,infty). Note que todo esse corte em z fica fora do círculo |z|=1.

Passo 3

Como o contorno |z|=1 e seu interior não tocam nem contêm os pontos de ramo nem os cortes de raiz9 - z^2, a função é analítica em todo o disco fechado |z|<=1. Pelo Teorema de Cauchy para funções analíticas, a integral em torno de qualquer contorno fechado nesse domínio vale zero:
integral|z|=1 raiz9 - z^2,dz = 0

Resposta

0

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