Exercício 18. Numa cidade do interior do Maranhão, estima-se que cerca de 20 % dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50 % dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é de 40 %. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
a) Não praticar esporte.
b) Ser alérgico dado que não pratica esportes.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com probabilidades condicionais e a regra da probabilidade total. Definimos os eventos:
A: indivíduo é alérgico.
E: indivíduo pratica esporte.
Vamos usar as informações dadas para calcular P(E^c) (probabilidade de não praticar esporte) e depois aplicar o Teorema de Bayes para P(Amid E^c).

Passo 2

Traduzindo as porcentagens em probabilidades:
P(A) = 0,2, P(A^c) = 1 - 0,2 = 0,8,
P(Emid A) = 0,5 Longrightarrow P(E^cmid A) = 1 - 0,5 = 0,5,
P(Emid A^c) = 0,4 Longrightarrow P(E^cmid A^c) = 1 - 0,4 = 0,6

Passo 3

Para (a), usamos a Regra da Probabilidade Total para E^c:
P(E^c) = P(A),P(E^cmid A) + P(A^c),P(E^cmid A^c) = 0,2 times 0,5 + 0,8 times 0,6 = 0,1 + 0,48 = 0,58

Passo 4

Logo, a probabilidade de não praticar esporte é
P(E^c) = 0,58(ou 58%)

Passo 5

Para (b), aplicamos o Teorema de Bayes:
P(Amid E^c) = P(Acap E^c)P(E^c) = P(A),P(E^cmid A)P(E^c) = 0,2 times 0,50,58 = 0,10,58 = 529 approx 0,1724

Passo 6

Portanto, a probabilidade de ser alérgico dado que não pratica esporte é cerca de 0,1724 (ou 17,24%).

Resposta

(a) 0,58
(b) 529approx0,1724

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