Dadas as equações paramétricas x=1-t^2 e y=1-t, com-2 <= t <= 2.
Determine uma equação cartesiana da curva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem as equações paramétricas $ x = 1 - t^2 $ e $ y = 1 - t $, onde $ t $ varia de -2 a 2. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre $ x $ e $ y $ sem o parâmetro $ t $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o $ t $ das equações.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação de $ y $: $ y = 1 - t $. Vamos isolar o $ t $ nessa equação para facilitar a substituição na equação de $ x $.
Para isolar $ t $, subtraímos 1 de ambos os lados:
y
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar o $ t $ positivo:
y = 1 - t
Agora, temos $ t $ expresso em termos de $ y $.

Passo 3

Com o valor de $ t $ em mãos ($ t = 1 - y $), vamos substituir esse valor na equação de $ x $:
t
Substituindo $ t $ por $ 1 - y $:
t = 1 - y

Passo 4

Agora, vamos expandir o termo $ (1 - y)^2 $:
(1 - y)^2
Substituindo de volta na equação de $ x $:
(1 - y)^2 = 1 - 2y + y^2

Passo 5

Distribuindo o sinal negativo:
x = 1 - 1 + 2y - y^2
Simplificando os termos constantes:
x = 2y - y^2

Resposta

A equação cartesiana da curva é $ x = 2y - y^2 $.

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