Dadas as equações paramétricas
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Determine uma equação cartesiana da curva.
Determine uma equação cartesiana da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem as equações paramétricas $ x = 1 - t^2 $ e $ y = 1 - t $, onde $ t $ varia de -2 a 2. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma relação direta entre $ x $ e $ y $ sem o parâmetro $ t $. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o $ t $ das equações.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação de $ y $: $ y = 1 - t $. Vamos isolar o $ t $ nessa equação para facilitar a substituição na equação de $ x $.
Para isolar $ t $, subtraímos 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar o $ t $ positivo:
Agora, temos $ t $ expresso em termos de $ y $.
Passo 3
Com o valor de $ t $ em mãos ($ t = 1 - y $), vamos substituir esse valor na equação de $ x $:
Substituindo $ t $ por $ 1 - y $:
Passo 4
Agora, vamos expandir o termo $ (1 - y)^2 $:
Substituindo de volta na equação de $ x $:
Passo 5
Distribuindo o sinal negativo:
Simplificando os termos constantes:
Resposta
A equação cartesiana da curva é $ x = 2y - y^2 $.