Exercício 18.1. Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
l x1^prime=2 x1+5 x2+2 e^-2 t x2^prime=x1-2 x2-e^-2 t
(a) Usando a matriz P formada pelos autovetores, faça a mudança x=P y e resolva o sistema diagonal y^prime=D y+P^-1 g(t).

Passo 1

Neste exercício temos um sistema não homogêneo de equações lineares do tipo x'=Ax+g(t), onde o conteúdo principal é diagonalização de matrizes e solução de sistemas desacoplados; para resolver vamos precisar encontrar autovalores e autovetores de A, construir P e D, calcular P^-1g(t) e então resolver as equações escalares para y1(t) e y2(t).

Passo 2

Primeiro computamos os autovalores de A=2 & 51 & -2 pela equação característica
det(A-lambda I)=2-lambda & 51 & -2-lambda=(2-lambda)(-2-lambda)-5=lambda^2-9=0
Daí temos lambda^2=9 e assim
lambda1=3,lambda2=-3

Passo 3

Em seguida achamos os autovetores. Para lambda1=3
(A-3I)v=0implies-1 & 51 & -5v=0
dá o autovetor v^(1)=(5,1). Para lambda2=-3
(A+3I)v=0implies5 & 51 & 1v=0
dá o autovetor v^(2)=(1,-1). Montamos então
$$
P= P=5 & 11 & -1, D=3 & 00 & -3,\quad D= .$$

Passo 4

Agora calculamos P^-1g(t). Como g(t)=l(2e^-2t,-e^-2tr)^T e
$$
P^{-1}=-\tfrac{1}{6} P^-1=-tfrac16-1 & -1-1 & 5,, P^-1g(t)= -tfrac16-1 & -1-1 & 52e^-2t-e^-2t=tfrac16e^-2ttfrac76e^-2t
P^{-1}g(t)= -\tfrac{1}{6} = .$$

Passo 5

Logo o sistema em y fica desacoplado:
$$
y_1’=3y_1+\tfrac{1}{6}e^{-2t},\quad y_2’=-3y_2+\tfrac{7}{6}e^{-2t}. y1'=3y1+tfrac16e^-2t, y2'=-3y2+tfrac76e^-2tçãã
y_1(t)=-\tfrac{1}{30}e{-2t}+C_1e{3t}. y1ã
y_2(t)=\tfrac{7}{6}e{-2t}+C_2e{-3t}.$$

Resposta

y1(t)=-130e^-2t+C1e^3t, y2(t)=76e^-2t+C2e^-3t

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