Exercício 18.1. Considere o sistema não homogêneo de equações lineares
(a) Usando a matriz formada pelos autovetores, faça a mudança e resolva o sistema diagonal .
Passo 1
Neste exercício temos um sistema não homogêneo de equações lineares do tipo , onde o conteúdo principal é diagonalização de matrizes e solução de sistemas desacoplados; para resolver vamos precisar encontrar autovalores e autovetores de , construir e , calcular e então resolver as equações escalares para e .
Passo 2
Primeiro computamos os autovalores de pela equação característica
Daí temos lambda^2=9 e assim lambda1=3,lambda2=-3
Passo 3
Em seguida achamos os autovetores. Para lambda1=3
(A-3I)v=0implies-1 & 51 & -5v=0
dá o autovetor v^(1)=(5,1). Para lambda2=-3 (A+3I)v=0implies5 & 51 & 1v=0
dá o autovetor v^(2)=(1,-1). Montamos então
$$
P= P=5 & 11 & -1, D=3 & 00 & -3,\quad D=.$$
Passo 4
Agora calculamos P^-1g(t). Como g(t)=l(2e^-2t,-e^-2tr)^T e