Exercício 18. (D.K. ex. 3.5) Consideremos funções e distribuições em R^2 :
Seja r: R^2 R dada por r(x)=|x|=raizx1^2+ldots+xn^2. Mostre que 1r e ln (r) definem distribuições em R^2. Qual é a ordem destas distribuições?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
1r e ln(r), onde r(x)=|x| em R^2, definem distribuições (i.e.\ funcionais contínuos em D(R^2)), e determinar a ordem mínima desses distribuidores. Para isso precisamos verificar que ambas são localmente integráveis em R^2 (assim geram distribuições de ordem zero) e depois mostrar o controle da forma
l|lang<= T,varphirang<=r| <= C,sup|alpha| <= m supx in K |D^alpha varphi(x)|
com m mínimo.

Passo 2

Mostramos que 1rin L^1loc( R^2). Seja Ksubset R^2 compacto e contenha a origem num disco de raio R. Em coordenadas polares,
integralK1r(x),dx ;<=; integral0^Rintegral0^2pi1rho,rho,dtheta,drho ;=; 2piintegral0^Rdrho ;=; 2pi R ;<;infty
Logo tfrac1r é localmente integrável e define uma distribuição T1 por
lang<= T1,varphirang<==integral1r,varphi(x),dx.

Passo 3

Mostramos que ln(r) in L^1loc(R^2). Ainda em coordenadas polares sobre o mesmo disco de raio R,
integral0^R integral0^2pi |ln(rho)| , rho , dtheta , drho = 2pi integral0^R |ln(rho)| , rho , drho
Use integração por partes em integral0^R (-ln rho) , rho , drho; obtém-se valor finito porque rho , ln rho to 0 quando rho to 0. Logo ln(r) é localmente integrável e define T2.

Passo 4

Tanto tfrac1r quanto ln(r) são integráveis em todo compacto K. Para varphiin D(K) temos
l|lang<= Ti,varphirang<=r| ;<=; |varphi|L^infty(K)integralK|fi(x)|,dx ;<=; CK,supxin K|varphi(x)|,
com f1=1/r, f2=ln(r). Isso mostra continuidade do funcional numa norma que só exige m=0 derivadas de varphi.

Resposta

Ambas as funções 1r e ln(r) são localmente integráveis em R^2 e, portanto, definem distribuições de ordem 0.

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