Exercício 18. (D.K. ex. 3.5) Consideremos funções e distribuições em :
Seja dada por . Mostre que e definem distribuições em . Qual é a ordem destas distribuições?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções e , onde em , definem distribuições (i.e.\ funcionais contínuos em ), e determinar a ordem mínima desses distribuidores. Para isso precisamos verificar que ambas são localmente integráveis em (assim geram distribuições de ordem zero) e depois mostrar o controle da forma
com m mínimo.
Passo 2
Mostramos que 1rin L^1loc( R^2). Seja Ksubset R^2 compacto e contenha a origem num disco de raio R. Em coordenadas polares,
integralK1r(x),dx ;<=; integral0^Rintegral0^2pi1rho,rho,dtheta,drho ;=; 2piintegral0^Rdrho ;=; 2pi R ;<;infty
Logo tfrac1r é localmente integrável e define uma distribuição T1 por lang<= T1,varphirang<==integral1r,varphi(x),dx.
Passo 3
Mostramos que ln(r) in L^1loc(R^2). Ainda em coordenadas polares sobre o mesmo disco de raio R,
Use integração por partes em integral0^R (-ln rho) , rho , drho; obtém-se valor finito porque rho , ln rho to 0 quando rho to 0. Logo ln(r) é localmente integrável e define T2.
Passo 4
Tanto tfrac1r quanto ln(r) são integráveis em todo compacto K. Para varphiin D(K) temos