Verifique se as retas r1 e r2 abaixo são iguais.
r1:lx=1+2 s y=6+3 s z=2-s r2:lx=3-2 t y=9-3 t z=1+t

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica no espaço:
r1: x=1+2s, y=6+3s, z=2 - s, r2: x=3-2t, y=9-3t, z=1 + t
Queremos decidir se elas coincidem, ou seja, se têm mesma direção e se um ponto de r1 pertence a r2.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta. Para r1 o vetor diretor é
vec v1 = (2,,3,,-1),
e para r2 é
vec v2 = (-2,,-3,,1)
Note que vec v2 = -,vec v1, logo as retas são paralelas (têm a mesma direção, possivelmente oposta).

Passo 3

Agora verificamos se um ponto de r1 também está em r2. Tomemos s=0 em r1, o que dá o ponto
P=(1,6,2)
Procuramos t tal que
(3-2t,;9-3t,;1+t) = (1,6,2)
Da primeira coordenada 3-2t=1 vem t=1. Substituindo em y e z:
9-3cdot1 = 6, 1+1 = 2,
as igualdades conferem. Logo P está em r2.

Passo 4

Como as retas têm vetores diretores colineares e compartilham pelo menos um ponto, elas coincidem.

Resposta

As retas r1 e r2 são iguais.

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