Q 4 Mostre que a função f: R R, definida por f(x)=a cdot x, forall a in R^*, é a única função elementar, de R em R, que é transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f:RtoR satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y) e f(lambda x)=lambda,f(x)
para todos x,y,lambdainR, então necessariamente existe uma constante a tal que
f(x)=a,x forall xinR,
e que não há outra forma de f além dessa. O conteúdo envolve definição de transformação linear em espaços vetoriais sobre R.

Passo 2

Defina
a = f(1)
Como f é homogênea, para qualquer xinR podemos escrever x = xcdot 1 e usar
f(x)=fl(xcdot 1r)=x,f(1)=a,x
Assim chegamos à forma geral f(x)=a,x.

Passo 3

Verificamos que toda função da forma f(x)=a,x é de fato linear, pois
f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y),
f(lambda x)=a(lambda x)=lambda(ax)=lambda f(x)
E a escolha de a=f(1) é única, logo não há outra função linear além de f(x)=a,x.

Resposta

f(x)=a,x, a=f(1),
é a única transformação linear de R em R.

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