Exercício 18 (Cubo) Considere-se fixado um sistema de coordenadas ortonormais ( O ; imath, jmath, k ). Considere-se nesse sistema um cubo A B C D E F G H. Denote-se por M o ponto médio do segmento [E H]; por N o ponto médio do segmento [F C] e por P o ponto tal que H P=14 H G.
18.1 Mostrar que as retas (M P) e (F G) são concorrentes em um ponto L e determinar as coordenadas desse ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as retas (M P) e (F G) de um cubo se intersectam num ponto L e determinar as coordenadas de L. O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar coordenadas de vértices, vetores e equações paramétricas de reta.

Passo 2

Escolhemos aresta de comprimento 1 e atribuímos
A=(0,0,0),;B=(1,0,0),;C=(1,1,0),;D=(0,1,0),; E=(0,0,1),;F=(1,0,1),;G=(1,1,1),;H=(0,1,1)
O ponto médio M de [E H] tem
M=E+H2 =l(0,tfrac12,1r)
O vetor H G=G-H=(1,0,0), logo
P=H+tfrac14,H G =l(0,1,1r)+l(tfrac14,0,0r) =l(tfrac14,1,1r)

Passo 3

Escrevemos as equações paramétricas:
reta MP: X(t)=M+tl(P-Mr) =l(0,tfrac12,1r)+tl(tfrac14,tfrac12,0r),
reta FG: X(s)=F+sl(G-Fr) =l(1,0,1r)+sl(0,1,0r)

Passo 4

Para o ponto de interseção L igualamos X(t)=X(s). Das coordenadas obtemos:
  1. x!: ;tcdottfrac14=1implies t=4
  2. y!: ;tfrac12+4cdottfrac12=simplies s=tfrac52
  3. z!: ;1+4cdot0=1, consistente.

Passo 5

Com t=4 na expressão de X(t) em MP encontramos
L = X(4) =l(0,tfrac12,1r)+4l(tfrac14,tfrac12,0r) =l(1,tfrac52,1r)
Logo as retas concorrem em L com essas coordenadas.

Resposta

L=l(1,tfrac52,1r)

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