Exercício 27 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas.
27.4 Determinar uma representação paramétrica da reta ( S ) dada pelo sistema de equações cartesianas
(S): x+y-3 z & =-1 2 x+y-5 z & =0

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica da reta S definida como interseção dos planos
P1:;x+y-3z=-1
e
P2:;2x+y-5z=0
Para isso vamos (i) encontrar um vetor diretor d como produto vetorial das normais desses planos e (ii) determinar um ponto particular P0 que satisfaça o sistema.

Passo 2

As normais são
n1=(1,1,-3),
n2=(2,1,-5)
O vetor diretor d é dado por
d = n1 times n2 = (1,1,-3)times(2,1,-5) = (-2,-1,-1)
Para simplificar podemos usar a direção oposta
d=(2,1,1)

Passo 3

Para achar um ponto
Subtraindo vem . Assim

Passo 4

A parámet rização da reta é
r(t)=P0 + t,d = (1,-2,0) + t,(2,1,1)
Em coordenadas:
x=1+2t, y=-2+t, z=t, tinR

Resposta

(x,y,z)=(1,-2,0)+t,(2,1,1), tinR

Exercícios relacionados